對立正方形

對立正方形（英文：square of opposition）係一個邏輯概念，用嚟表示唔同直言命題之間有乜嘢關係，包括係四句嘢之間邊啲係彼此矛盾。對立正方形個諗法歷史悠久，亞里士多德喺公元前三至四世紀寫咗《解釋篇》一書講語言同邏輯之間嘅關係，已經有提到對立正方形噉嘅概念。

四大命題

一隻三色貓

對立四方形建基於直言命題（英文：categorical proposition），呢四句嘢分別叫做 $A$ 、 $E$ 、 $I$ 同 $O$ ，共通點係佢哋都喺度講緊「一樣嘢係咪屬於某一個類」：而家設 $S$ （可以睇埋主語）做某個類別嘅嘢，而 $P$ （可以睇埋謂語）做另一個類別嘅嘢，如果要講 $S$ 當中有幾多嘅屬於 $P$ ，可以有以下呢四種情況^[1]：

簡稱	中文名	個樣係點	粵語例句
$A$ 命題	全稱肯定	「所有 $S$ 都係 $P$ 。」	「世上所有嘅貓都屬於哺乳類。」
$E$ 命題	全稱否定	「無任何一個 $S$ 係 $P$ 。」	「世上無任何一隻貓屬於昆蟲。」
$I$ 命題	特稱肯定	「有最少一啲 $S$ 係 $P$ 。」	「世上有一啲貓係三色嘅。」
$O$ 命題	特稱否定	「有最少一啲 $S$ 唔係 $P$ 。」	「世上有一啲貓唔係三色嘅。」

上述嘅分析亞里士多德都有做^[2]。喺廿世紀起，呢四句嘢就有畀人用邏輯符號嚟表達^[3]，

簡稱	邏輯符號
$A$ 命題	$\forall x(Sx\rightarrow Px)$
$E$ 命題	$\forall x(Sx\rightarrow \neg Px)$
$I$ 命題	$\exists x(Sx\land Px)$
$O$ 命題	$\exists x(Sx\land \neg Px)$

呢四大命題，就係對立正方形嗰四隻角所表示嘅嘢。

命題關係

對立正方形嗰四條邊同埋啲對角線，就係講四句命題之間嘅關係^[4]。

亞里士多德喺《解釋篇》（希臘文：Περὶ Ἑρμηνείας，拉丁文：De Interpretatione）指出呢四種命題之間存在特定嘅邏輯關係：假設 $S$ 所指嘅嘢真係存在嘅，噉 $A$ 同 $O$ 彼此之間矛盾，同時 $E$ 同 $I$ 都係彼此之間矛盾——兩句嘢矛盾意即佢哋喺真值上對立，永遠實係一句真確一句錯誤。而繼續假設 $S$ 所指嘅嘢真係存在：

相反（英文：contrary / contrariae）意思係話兩句嘢冇得同時係真確，但係佢哋有可能同時係錯誤，所以兩嘢唔算矛盾：例如 $A$ 同 $E$ 就成相反關係，兩句嘢冇可能同時真確，但係如果得（例如）50% 嘅 $S$ 係 $P$ ，噉兩句嘢就會同時錯誤。
次相反（英文：subcontrary / subcontrariae）意思係話兩句嘢有得同時真確，但係冇得同時錯誤，亦唔算係矛盾：例如 $I$ 同 $O$ 就成相反關係，如果（例如）有 40% 嘅 $S$ 係 $P$ ，噉 $I$ 同 $O$ 就會同時真確，但係兩句嘢冇可能同時錯誤——如果 $I$ 係錯誤，就表示 $E$ 實係真確， $O$ 必然都係真確，而如果 $O$ 係錯誤，就表示 $A$ 實係真確，噉 $I$ 必然都係真確。

此外仲有一種關係，係亞里士多德冇明確提到嘅。所謂嘅交替（英文：altern）包括咗「從屬」同「超從屬」噉嘅關係^[5]^[6]：原則上， $O$ 可以算係「從屬」於 $E$ ——假如 $E$ 係真確， $O$ 就必然都會係真確， $E$ 蘊含 $O$ ，而同一道理， $A$ 亦都蘊含咗 $I$ ^[7]。

因此，可以得出以下嘅情況：^[8]

如果 $A$ 為真，噉 $E$ 為假， $I$ 為真， $O$ 為假；
如果 $E$ 為真，噉 $A$ 為假， $I$ 為假， $O$ 為真；
如果 $I$ 為真，噉 $E$ 為假， $A$ 同 $O$ 不確定；
如果 $O$ 為真，噉 $A$ 為假， $E$ 同 $I$ 不確定；
如果 $A$ 為假，噉 $O$ 為真， $E$ 同 $I$ 不確定；
如果 $E$ 為假，噉 $I$ 為真， $A$ 同 $O$ 不確定；
如果 $I$ 為假，噉 $A$ 為假， $E$ 為真， $O$ 為真；
如果 $O$ 為假，噉 $A$ 為真， $E$ 為假， $I$ 為真。

語文相關

對立正方形嗰四隻角嘅名，係取自拉丁文。

中文名	符號	拉丁文語句	英文語句	記法
全稱肯定	$A$	Omne $S$ est $P$ .	Every $S$ is $P$ . ( $S$ is always $P$ .)	affirmo （我確定）
全稱否定	$E$	Nullum $S$ est $P$ .	No $S$ is $P$ . ( $S$ is never $P$ .)	nego （我否決）
特稱肯定	$I$	Quoddam $S$ est $P$ .	Some $S$ is $P$ . ( $S$ is sometimes $P$ .)	affirmo （我確定）
特稱否定	$O$	Quoddam $S$ nōn est $P$ .	Some $S$ is not $P$ . ( $S$ is not always $P$ .)	nego （我否決）

語義學（針對語言意思做嘅語言學研究）亦有提到對立正方形呢個概念。有語言學研究指，包括英文在內嘅好多語言都零舍缺少咗對應特稱否定嘅字詞。例如英文噉，英文有 all no some 呢三隻字詞，分別應對 $A$ 、 $E$ 同 $O$ ：

全稱肯定："All S are P."

全稱否定："No S is P."

特稱肯定："Some S are P."

但係英文如果要講特稱否定，就焗住要用 some... not 噉嘅形式（特稱肯定掕 not 呢隻否定詞）嚟表達，冇得用

"Noth S are P"

噉嘅方式嚟表達「有啲 $S$ 唔係 $P$ 」嘅意思^{[註 1]}。有呢種情況嘅唔淨只係英文。對於呢種情況點解會出現，有種主張係話因為一個人講得特稱肯定句，就表示特稱否定句通常都成立，佢先會噉講^{[註 2]}，所以根本冇必要作多隻字詞出嚟表達特稱否定^[9]^[10]。

再睇

預設存在：如果話「有啲 $S$ 係 $P$ 」，就實要預設咗 $S$ 所指嘅嘢真係存在，不過呢個假設未必成立。如果呢個假設唔成立，對立正方形講嘅一切就未必會成立。
語義研究
布林三段

註釋

↑ Noth 係一隻虛構嘅字詞（偽字），廿一世紀初英文入便冇人會用。
↑ 即係話實際嘅語言使用同嚴格嘅邏輯概念之間有差異。

引述

篇文引用咗嘅學術文獻或者網頁：

↑ Kelley, David (2014). The Art of Reasoning: An Introduction to Logic and Critical Thinking (4 ed.). New York, NY: W.W. Norton & Company, Inc. p. 150.
↑ Londey, David and Carmen Johanson, 1984. "Apuleius and the Square of Opposition," Phronesis, 29: 165-73.
↑ Per The Traditional Square of Opposition: 1.1 The Modern Revision of the Square in the Stanford Encyclopedia of Philosophy
↑ Favaro, A. (2015). The Particular Negative: a Distributional Study on Some Aspects of Meaning Contradicting Logical Equivalence. Procedia-Social and Behavioral Sciences, 198, 122-131.
↑ Parry & Hacker，《亞里士多德邏輯》（SUNY Press，1990），第158頁。
↑ Cohen & Nagel，《邏輯入門》第二版（Hackett Publishing，1993），第55頁。
↑ "Introduction to Logic - 7.2.1 Finishing the Square and Immediate Inferences". 2021-08-10.
↑ Reale, Giovanni; Antiseri, Dario (1983). Il pensiero occidentale dalle origini a oggi.第1卷. Brescia: Editrice La Scuola. p. 356. ISBN 88-350-7271-9. OCLC 971192154.
↑ Horn, Laurence R. 1989. A natural history of negation. Chicago: University of Chicago Press. p.254
↑ Riemer, N. (2010). Introducing semantics. Cambridge University Press. 6.6.3 嗰 part 有講。

[9] Noth 係一隻虛構嘅字詞（偽字），廿一世紀初英文入便冇人會用。

[10] 即係話實際嘅語言使用同嚴格嘅邏輯概念之間有差異。

[1] Kelley, David (2014). The Art of Reasoning: An Introduction to Logic and Critical Thinking (4 ed.). New York, NY: W.W. Norton & Company, Inc. p. 150.

[2] Londey, David and Carmen Johanson, 1984. "Apuleius and the Square of Opposition," Phronesis, 29: 165-73.

[3] Per The Traditional Square of Opposition: 1.1 The Modern Revision of the Square in the Stanford Encyclopedia of Philosophy

[4] Favaro, A. (2015). The Particular Negative: a Distributional Study on Some Aspects of Meaning Contradicting Logical Equivalence. Procedia-Social and Behavioral Sciences, 198, 122-131.

[5] Parry & Hacker，《亞里士多德邏輯》（SUNY Press，1990），第158頁。

[6] Cohen & Nagel，《邏輯入門》第二版（Hackett Publishing，1993），第55頁。

[7] "Introduction to Logic - 7.2.1 Finishing the Square and Immediate Inferences". 2021-08-10.

[8] Reale, Giovanni; Antiseri, Dario (1983). Il pensiero occidentale dalle origini a oggi.第1卷. Brescia: Editrice La Scuola. p. 356. ISBN 88-350-7271-9. OCLC 971192154.

[11] Horn, Laurence R. 1989. A natural history of negation. Chicago: University of Chicago Press. p.254

[12] Riemer, N. (2010). Introducing semantics. Cambridge University Press. 6.6.3 嗰 part 有講。

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[註 1]

[註 2]

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