數學基礎
呢篇文講嘅唔係基礎數學。
數學基礎(英文:foundations of mathematics)係指研究數學嘅哲學或者邏輯基礎,例子可以睇吓集合論。
數學上,數學基礎一詞有時候用於數學嘅特定領域,例如數理邏輯,公理化集合論,證明論,模型論,同遞歸論(可計算性理論)。但係尋求數學嘅基礎都係數學哲學嘅中心問題:喺乜嘢終極基礎上命題可以稱為『真』?
目前佔統治地位嘅數學典範思想係基於公理化集合論同形式邏輯嘅。實際上,幾乎所有而家嘅數學定理都可以表述為集合論下嘅定理。喺呢個觀點下,所謂數學命題嘅真實性,不過就係該命題可以從集合論公理使用形式邏輯推導出來。
呢個形式化嘅方法唔可以解釋一啲問題:為乜嘢我哋應沿用現行嘅公理而唔係其他,為乜嘢我哋應沿用現行嘅邏輯規則而唔係其他,為乜嘢「真」數學命題(例如,算術領域嘅皮亞諾公理)喺物理世界中似乎係真嘅。這被尤金·維格納喺1960年叫做『數學喺自然科學中無理由嘅有效性』(The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences)。
喺數學實在論(有時都叫柏拉圖主義)中,獨立於人類嘅數學對象嘅世界嘅存在被作為一個基本假設;呢啲對象嘅真實性由人類「發現」。喺呢種觀點下,自然定律同數學定律有類似嘅地位,因此"有效性"唔再"無理由"。唔係我哋嘅公理,而係數學對象嘅真實世界構成咗數學基礎。但,顯然嘅問題在於,我哋點樣接觸呢個世界?
一啲數學哲學嘅現代理論唔承認呢種數學基礎存在。有啲理論傾向於專注數學實踐,並試圖將數學家嘅實際工作視為一種社會群體來作描述同分析。都有理論試圖創造一個數學認知科學,將數學喺"現實世界"中嘅可靠性歸結為人類嘅認知。呢啲理論建議只喺人類嘅思考中搵到基礎。
參考 編輯
- The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences Wayback Machine嘅版面存檔備份, Eugene Wigner, 1960;
- What is mathematical truth?, Hilary Putnam, 1975;
- Mathematics as an objective science, Nicholas D. Goodman, 1979;
- Some proposals for reviving the philosophy of mathematics, Reuben Hersh, 1979;
- Challenging foundations, Thomas Tymoczko, 1986, preface to first section of New Directions in the Philosophy of Mathematics, 1986 and (revised) 1998, which includes also Putnam, Goodman, Hersh.
睇埋 編輯
出面網頁 編輯
- What is Foundations of Mathematics?
- Logic and Mathematics Wayback Machine嘅版面存檔備份
- Foundations of Mathematics mailing list Wayback Machine嘅版面存檔備份