楔形數

喺數論入面，楔形數（英文：sphenic number）係講啲正整數，佢係三個唔同嘅質數嘅積。

定義

一個正整數 $n$ 係一個楔形數若且唯若佢係三個唔同嘅質數 $p,q,r$ 嘅積： $n=pqr$ 。注意呢個條件唔等同話佢有三個質因數，例如 $60=2^{2}\times 3\times 5$ 有三個質因數，但係就唔係楔形數。

最細嘅楔形數係 $30=2\times 3\times 5$ ，因爲佢係最細三個質數乘埋，最細嗰幾個楔形數係：

截至 2019 年一月最大已知嘅楔形數係

(2^82,589,933 − 1) × (2^77,232,917 − 1) × (2^74,207,281 − 1).

佢係最大三個已知質數乘埋。

所有嘅楔形數都有啱啱好八個因數，因爲如果我哋將個楔形數寫做 $n=p\cdot q\cdot r$ ，當中 $p,q,r$ 係唔同嘅質數嘅話， $n$ 嘅所有因數就係：

\left\{1,\ p,\ q,\ r,\ pq,\ pr,\ qr,\ n\right\}.

留意掉返轉係唔得嘅，即係話有啱啱好八個因數都唔一定係楔形數，例如 $24=2^{3}\times 3$ 就係一個反例，佢有八個因數。

任何楔形數嘅 Möbius函數都係 $-1$ 。
第一個連續兩個楔形數嘅例子係 $230=2\times 5\times 23$ 同埋 $231=3\times 7\times 11$
- 頭幾對連續楔形數之中細啲嗰個：230, 285, 429, 434, 609, 645, 741, …（OEIS數列A215217）
第一個連續三個嘅例子係 $1309=7\times 11\times 17$ ， $1310=2\times 5\times 131$ 同埋 $1311=3\times 19\times 23$ 。
- 頭幾組連續三個楔形數之中中間嗰個：1310, 1886, 2014, 2666, 3730, … 一萬以內有廿一組（OEIS數列A248202）
唔會有連續四個或以上嘅例子，因爲任何四個連續數都會有一個被 $4=2\times 2$ 整除，令到佢唔係無平方整數。
$2013=3\times 11\times 61$ ， $2014=2\times 19\times 53$ 同埋 $2015=5\times 13\times 31$ 係連續三個嘅例子，下次連續三年嘅年份都係楔形數要等到 $2665=5\times 13\times 41$ ， $2666=2\times 31\times 43$ 同埋 $2667=3\times 7\times 127$ （OEIS數列A165936）
楔形數嘅分佈：
- 100 以下有 5 個。
- 1000 以下有 135 個。
- 10000 以下有 1800 個。
又係三角形數又係楔形數：66, 78, 105, 190, 231, 406, 435, 465, 561, 595, …（OEIS數列A128896）
所有楔形數都唔係完全數。

證明

我哋可以用反證法：

設 $p<q<r$

$s=pqr$ 嘅因數和係 $(1+p)(1+q)(1+r)$ 。

假設 $s$ 真係完全數，咁 $(1+p)(1+q)(1+r)=2pqr$ 。

左邊嘅 $1+q$ 同 $1+r$ 都係雙數，啫係話左邊畀 4 整除。

睇睇右邊，我哋得到 $p=2$ 。

代 $p=2$ 入左邊，我哋得到 $q=3$ 。

代埋 $q=3$ ， $12(1+r)=12r$ ，無解。

所以 $s$ 唔會係完全數。

所有單嘅楔形數都係虧數，因爲 ${\dfrac {p+1}{p}}\cdot {\dfrac {q+1}{q}}\cdot {\dfrac {r+1}{r}}\leq {\dfrac {4}{3}}\cdot {\dfrac {6}{5}}\cdot {\dfrac {8}{7}}<2$ 。
形如 $2\cdot 3\cdot r$ 嘅楔形數係半完全數，因爲 $2\cdot 3\cdot r=r+2r+3r$ 。