歐拉法

喺數學同計算科學入便，歐拉法（亦都叫做正向歐拉法）係一種一階數值過程，攞嚟求解啲具有畀定初始值嘅常微分方程（ODE）嘅。歐拉法係對常微分方程進行數值積分嘅最基本嘅顯式方法，亦都係最簡單嘅Runge-Kutta法。歐拉法以歐拉個名命名，佢喺佢本《計算積分學》（1768-1870年出版）一書入便有處理到。 ^[1]

歐拉法係一階方法，代表佢個局部誤差（每𨂾誤差）戥𨂾長嘅平方成正比、全局誤差（畀定時間嘅誤差）戥𨂾長成正比。歐拉法通常作為構造啲更複雜方法嘅基礎，譬如預測器-校正器法。

非正式嘅幾何描述

考慮計算某條未知曲線個形狀；佢從畀定點開始、滿足一條畀定微分方程。基於呢層，微分方程即係一種公式，一旦計出任意一粒點個位置，透過呢條公式就計得出條曲線上嘅切線斜率嘅。

個惗法係，雖然條曲線初初都係未知嘅，但佢個起點 $A_{0}$ 係已知嘅（請參見右上方幅圖）。然之後，從微分方程就計得出條曲線喺 $A_{0}$ 度嘅斜率同埋切線。

沿住切線向上延伸多一點 $A_{1}$ 。沿住呢一細𨂾，個斜率唔會變化太大，所以 $A_{1}$ 好接近條曲線。若果假設個 $A_{1}$ 仲喺曲線上，戥上述喺點 $A_{0}$ 相同嘅推理過程都繼續使得。幾𨂾之後，就計出多邊形曲線 $A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}\dots$ 。好多時，呢條曲線戥原始未知曲線嘅走差唔會太大；若果𨂾長夠細而且計算間隔有限，噉可以令到兩條曲線之間嘅誤差細啲： ^[2]

y'(t)=f(t,y(t)),\qquad y(t_{0})=y_{0}.

揀一個值 $h$ 對於每一𨂾同埋設置 $t_{n}=t_{0}+nh$ 。噉時，從 $t_{n}$ 到 $t_{n+1}=t_{n}+h$ 係： ^[3]

y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).

值 $y_{n}$ 係ODE解嘅近似值，喺 $t_{n}$ ： $y_{n}\approx y(t_{n})$ 嗰陣。 Euler法係顯式嘅，即對於 $i\leq n$ ，解 $y_{n+1}$ 係 $y_{i}$ 嘅顯式函數。

就算Euler法集成唨一階ODE，但係任何N階嘅ODE都可以表示為啲一階ODE嘅系統。

爲唨處理以下方程：

y^{(N)}(t)=f(t,y(t),y'(t),\ldots ,y^{(N-1)}(t))

，

可以引入輔助變量 $z_{1}(t)=y(t),z_{2}(t)=y'(t),\ldots ,z_{N}(t)=y^{(N-1)}(t)$ 並得到等式：

\mathbf {z} '(t)={\begin{pmatrix}z_{1}'(t)\\\vdots \\z_{N-1}'(t)\\z_{N}'(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y'(t)\\\vdots \\y^{(N-1)}(t)\\y^{(N)}(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z_{2}(t)\\\vdots \\z_{N}(t)\\f(t,z_{1}(t),\ldots ,z_{N}(t))\end{pmatrix}}

呢個係變量 $\mathbf {z} (t)$ 入便嘅一階系統，可以用Euler法處理，或者實質上可以用任一其他啲都用於一階系統嘅方案處理。 ^[4]

例子

畀定初始值問題

y'=y,\quad y(0)=1,

諗住用歐拉法來逼近 $y(4)$ 。 ^[5]

令𨂾長等於1（h = 1）

方程嘅數值積分圖示

y'=y,y(0)=1.

藍色係歐拉法；綠色中點法；紅色確切解，

y=e^{t}.

𨂾長為h = 1.0 。

歐拉法係

y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).\qquad \qquad

所以首先必須計算 $f(t_{0},y_{0})$ 。喺條簡單嘅微分方程入便，函數 $f$ 由定義 $f(t,y)=y$ 。有初始值：

f(t_{0},y_{0})=f(0,1)=1.\qquad \qquad

透過執行以上步驟，就搵到條切線嘅斜率、喺點 $(0,1)$ 戥方程解條曲線相切嘅。考慮返斜率定義為 $y$ 變化量除以 $t$ 變化量，或者 $\Delta y/\Delta t$ ，

下一步係將上述值乘上𨂾長 $h$ ，呢度等於1：

h\cdot f(y_{0})=1\cdot 1=1.\qquad \qquad

由於𨂾長係 $t$ 變化量，將𨂾長戥切線嘅斜率相乘嗰陣，就得到 $y$ 個變化值。然之後，呢個值會加到初始值 $y$ 以獲得下一個要攞嚟計算嘅值。

y_{0}+hf(y_{0})=y_{1}=1+1\cdot 1=2.\qquad \qquad

重複上述步驟即可搵到 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 、 $y_{4}$ 。

{\begin{aligned}y_{2}&=y_{1}+hf(y_{1})=2+1\cdot 2=4,\\y_{3}&=y_{2}+hf(y_{2})=4+1\cdot 4=8,\\y_{4}&=y_{3}+hf(y_{3})=8+1\cdot 8=16.\end{aligned}}

由於呢個算法具有重複性，所以攞圖表形式嚟組織返啲計算會好有幫助，如下所示，嚟避免出錯。

$n$	$y_{n}$	$t_{n}$	$f(t_{n},y_{n})$	$h$	$\Delta y$	$y_{n+1}$
0	1	0	1	1	1	2
1	2	1	2		2	4
2	4	2	4		4	8
3	8	3	8		8	16

個計算嘅結論係 $y_{4}=16$ 。微分方程嘅精確解係 $y(t)=e^{t}$ ，所以 $y(4)=e^{4}\approx 54.598$ 。就算喺呢種𨂾長值 $h$ 大嘅特定情況之下，歐拉法嘅逼近唔點精確，之不過如圖所示，演算法個表現喺定性上係啱嘅。

MATLAB代碼示例

clear; clc; close('all');
y0 = 1;
t0 = 0;
h = 1; % try: h = 0.01
tn = 4; % equal to: t0 + h*n, with n the number of steps
[t, y] = Euler(t0, y0, h, tn);
plot(t, y, 'b');

% exact solution (y = e^t):
tt = (t0:0.001:tn);
yy = exp(tt);
hold('on');
plot(tt, yy, 'r');
hold('off');
legend('Euler', 'Exact');

function [t, y] = Euler(t0, y0, h, tn)
  fprintf('%10s%10s%10s%15s\n', 'i', 'yi', 'ti', 'f(yi,ti)');
  fprintf('%10d%+10.2f%+10.2f%+15.2f\n', 0, y0, t0, f(y0, t0));
  t = (t0:h:tn)';
  y = zeros(size(t));
  y(1) = y0;
  for i = 1:1:length(t) - 1
    y(i + 1) = y(i) + h * f(y(i), t(i));
    fprintf('%10d%+10.2f%+10.2f%+15.2f\n', i, y(i + 1), t(i + 1), f(y(i + 1), t(i + 1)));
  end
end

% in this case, f(y,t) = f(y)
function dydt = f(y, t)
  dydt = y;
end

% OUTPUT:
%     i    yi    ti    f(yi,ti)
%     0   +1.00   +0.00     +1.00
%     1   +2.00   +1.00     +2.00
%     2   +4.00   +2.00     +4.00
%     3   +8.00   +3.00     +8.00
%     4  +16.00   +4.00     +16.00
% NOTE: Code also outputs a comparison plot

R代碼示例

下面係使R編程語言編寫嘅示例代碼。

# ============
# SOLUTION to
#   y' = y,   where y' = f(t,y)
# then:
f <- function(ti,y) y

# INITIAL VALUES:
t0 <- 0
y0 <- 1
h  <- 1
tn <- 4

# Euler's method: function definition
Euler <- function(t0, y0, h, tn, dy.dt) {
  # dy.dt: derivative function
  
  # t sequence:
  tt <- seq(t0, tn, by=h)
  # table with as many rows as tt elements:
  tbl <- data.frame(ti=tt)
  tbl$yi <- y0 # Initializes yi with y0
  tbl$Dy.dt[1] <- dy.dt(tbl$ti[1],y0) # derivative
  for (i in 2:nrow(tbl)) {
    tbl$yi[i] <- tbl$yi[i-1] + h*tbl$Dy.dt[i-1]
    # For next iteration:
    tbl$Dy.dt[i] <- dy.dt(tbl$ti[i],tbl$yi[i])
  }
  return(tbl)
}

# Euler's method: function application
r <- Euler(t0, y0, h, tn, f)
rownames(r) <- 0:(nrow(r)-1) # to coincide with index n

# Exact solution for this case: y = exp(t)
#       added as an additional column to r
r$y <- exp(r$ti)

# TABLE with results:
print(r)

plot(r$ti, r$y, type="l", col="red", lwd=2)
lines(r$ti, r$yi, col="blue", lwd=2)
grid(col="black")
legend("top",  legend = c("Exact", "Euler"), lwd=2,  col = c("red", "blue"))

# OUTPUT:
#
#   ti yi Dy.dt         y
# 0  0  1     1  1.000000
# 1  1  2     2  2.718282
# 2  2  4     4  7.389056
# 3  3  8     8 20.085537
# 4  4 16    16 54.598150
# NOTE: Code also outputs a comparison plot

使埋其他𨂾長

相同插圖，h=0.25。

好似引言入便所述，若果𨂾長 $h$ 細啲，噉歐拉法亦都準確啲。下表顯示唨唔同𨂾長嘅結果。第一行對應於上一節入便個示例，第二行如圖所示。

𨂾長	歐拉法結果	誤差
1	16.00	38.60
0.25	35.53	19.07
0.1	45.26	9.34
0.05	49.56	5.04
0.025	51.98	2.62
0.0125	53.26	1.34

表格最後一欄記錄嘅誤差係精確解之間嘅差 $t=4$ 佮歐拉近似。喺份表格㞘底，𨂾長係上一行𨂾長嘅一半，而且啲誤差亦都係前一行啲誤差嘅一半咁上下，表明誤差大致戥𨂾長成正比，至少對於相當細嘅𨂾長值嚟講。呢個對於其他方程式一般亦都係啱嘅。更多詳細信息請參睇全局截尾錯誤嗰部分。

其他啲方法、譬如圖入便亦都顯示有嘅中點法，表現得仲好：中點法嘅整體誤差戥𨂾長嘅平方大致成比例。所以，歐拉法叫做一階方法，而中點法叫做二階方法。

由上表推得，要獲得啱嘅小數點後三位答案，所需嘅𨂾長約為0.00001，代表需要到400,000𨂾數。咁大量嘅𨂾數需要好高嘅計算成本。所以，啲人好多時採用高階嘅方法作爲替代，譬如啲Runge–Kutta法抑係啲線性多步法，尤其係要到高精度嗰陣。 ^[6]

推導

歐拉法可以透過多種方式推出。首先有上便啲幾何描述。

另一種可能性係考慮函數 $y$ 喺 $t_{0}$ 週邊嘅泰勒展開：

y(t_{0}+h)=y(t_{0})+hy'(t_{0})+{\frac {1}{2}}h^{2}y''(t_{0})+O(h^{3}).

條微分方程表明 $y'=f(t,y)$ 。若果捉條式替換成泰勒展開式，而且忽略埋二次項同埋啲高階項，就得到Euler法。 ^[7]泰勒展開式可以似下低噉着攞嚟分析啲歐拉法產生嘅誤差，而且可以擴展到生成Runge–Kutta法。

密切相關嘅推導係攞前向有限差分公式代替導數，

y'(t_{0})\approx {\frac {y(t_{0}+h)-y(t_{0})}{h}}

喺微分方程入便 $y'=f(t,y)$ 。同樣，噉樣都推得出歐拉法。 ^[8]相似嘅計算推得出中點法同埋後褪歐拉法。

最後，可以積分條微分方程式由 $t_{0}$ 到 $t_{0}+h$ ，並應用微積分基本定理得到：

y(t_{0}+h)-y(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t_{0}+h}f(t,y(t))\,\mathrm {d} t.

再透過左手矩形法（只用到一個矩形）來近似積分：

\int _{t_{0}}^{t_{0}+h}f(t,y(t))\,\mathrm {d} t\approx hf(t_{0},y(t_{0})).

結合埋嗰兩個方程，又得到歐拉法。 ^[9]可以繼續採用呢種思路嚟得出各種線性多步法。

局部截尾誤差

歐拉法嘅局部截尾誤差（LTE）係行親一𨂾造成嘅誤差，即係一𨂾之後數值解 $y_{1}$ 戥 $t_{1}=t_{0}+h$ 嗰陣嘅確切解之間嘅差。數值解由下式畀出

y_{1}=y_{0}+hf(t_{0},y_{0}).\quad

對於確切嘅解，使返上便嘅#推導部分入便提到嘅泰勒展開式：

y(t_{0}+h)=y(t_{0})+hy'(t_{0})+{\frac {1}{2}}h^{2}y''(t_{0})+O(h^{3}).

歐拉法引入嘅局部截尾誤差由以下等式之間嘅差異畀出：

\mathrm {LTE} =y(t_{0}+h)-y_{1}={\frac {1}{2}}h^{2}y''(t_{0})+O(h^{3}).

呢個結果有效，若果 $y$ 有有界三階導數。^[10]

噉樣表明對於細 $h$ ，局部截尾誤差正比於 $h^{2}$ ，即會令到Euler法對於細啲嘅 $h$ 準確性降低，而唔似Runge-Kutta法同埋線性多步法之類其他啲高階竅，因為後者啲局部截尾誤差戥𨂾長嘅高啲嘅冪成正比。

一條略有唔同嘅局部截尾誤差公式，可以透過對於泰勒定理入便啲其餘項、用返拉格朗日形式獲得。若果 $y$ 有一個連續嘅二階導數，噉就存在一個 $\xi \in [t_{0},t_{0}+h]$ 令到：

\mathrm {LTE} =y(t_{0}+h)-y_{1}={\frac {1}{2}}h^{2}y''(\xi ).

^[11]

喺上便嘅誤差表達式裏便，未知精確解 $y$ 嘅二階導數可以用一條表達式、涉及微分方程右側嘅嚟代替。根據 $y'=f(t,y)$ 方程有：

y''(t_{0})={\partial f \over \partial t}(t_{0},y(t_{0}))+{\partial f \over \partial y}(t_{0},y(t_{0}))\,f(t_{0},y(t_{0})).

^[12]

全局截尾誤差

全局截尾誤差（GTE）係固定時間嘅誤差 $t$ ，但係係經過好多𨂾步後，先從初始時間嗰度開始計。全局截尾誤差係每一𨂾入便整出嘅嗰啲局部截尾誤差嘅累積影響。 ^[13]𨂾數好容易確定為 $(t-t_{0})/h$ ，之正比於 $1/h$ ，而且每一𨂾裏便整出嘅誤差正比於 $h^{2}$ （請參閱上一節）。所以，預期當中，全局截尾誤差會正比於 $h$ 。 ^[14]

呢種直觀嘅推理可以精確化。若果個解 $y$ 有有界二階導數、若果 $f$ 喺佢入便個第二個參數係Lipschitz連續嘅，噉個全局截尾誤差由條式得出：

|{\text{GTE}}|\leq {\frac {hM}{2L}}(e^{L(t-t_{0})}-1)\qquad \qquad

其中 $M$ 係喺畀定間隔下、 $y$ 個二階導數嘅上限，而 $L$ 係 $f$ 嘅Lipschitz常數。 ^[15]

呢個界限嘅精確形式幾乎冇乜實際意義，因為喺大多數情況之下，界限遠遠高估唨Euler法造成嘅實際誤差。 ^[16]重要嘅衹係佢表明到個全局截尾誤差（大約）正比於 $h$ 。所以，歐拉法着認為係一階嘅。 ^[17]

數值穩定性

解

y'=-2.3y

用歐拉法計算嘅𨂾長

h=1

（藍色方塊）同埋

h=0.7

（紅色圓圈）。黑色曲線顯示唨確切嘅解。

Euler法喺數值上亦都可能係唔穩定嘅，尤其係對於剛性方程嚟講；噉樣即係對於冇精確求解嘅方程，數值解會變得非常之大。呢層可以用返線性方程來說明：

y'=-2.3y,\qquad y(0)=1.

確切解係 $y(t)=e^{-2.3t}$ ，隨住 $t\to \infty$ 而到零。但係，若果歐拉法以𨂾長 $h=1$ 應用於呢條式，噉個數值解喺定性上都係錯嘅：個數值解會振盪並增長（見圖），即唔穩定噉解。又如，若果𨂾長細啲、 $h=0.7$ ，噉個數值解又確實會衰減為零。

粉紅色嘅圓盤顯示唨Euler法嘅穩定區域。

若果將歐拉法應用於線性方程 $y'=ky$ ，噉呢個乘積嘅數值解會唔穩定、若果 $hk$ 乘積喺以下區域之外：

\{z\in \mathbf {C} \mid |z+1|\leq 1\},

似右圖所示，嗰柵區域叫做（線性）穩定性區域。 ^[18]喺呢個例子入便 $k$ 係-2.3，所以若果 $h=1$ 然之後 $hk=-2.3$ ，喺穩定區域之外，所以數值解唔穩定。

考慮到呢種限制與及𨂾長h誤差收斂之慢，代表除唨作為數值積分嘅簡單示例之外，Euler法唔經常會使到。

捨入誤差

到目前為止嘅討論都忽略唨捨入誤差嘅後果。喺歐拉法嘅𨂾數n入便，捨入誤差大致係εy_n幅值，其中ε係嘅機器ε。假設捨入誤差大致都係相同大細嘅，喺N𨂾之後佮埋嘅捨入誤差係大致Nεy₀若果所有錯誤指嗮相同方向。由於𨂾數戥𨂾長h成反比，所以總捨入誤差戥ε/ h成正比。但係，實質上，所有捨入誤差唔可能都指嗮同一方向。相反，若果假設捨入誤差係獨立嘅隨機變數，噉預期嘅總捨入誤差正比於 $\varepsilon /{\sqrt {h}}$ 。 ^[19]

所以，對於極細嘅𨂾長值，截尾誤差會好細，但係捨入誤差嘅影響可能會好大。若果喺Euler法嘅公式裏便使埋補償求和，可以好容易噉避免捨入誤差嘅大部分影響。 ^[20]

修改同擴展

後褪Euler法係對Euler法嘅簡單修改，消除唨上一部分入便提到嘅穩定性問題：

y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n+1},y_{n+1}).

噉樣戥（標准或順向嘅）歐拉法唔同之處係個函數 $f$ 喺一𨂾嘅終點得到評估，而唔係起點。後褪Euler法係一個隱式方法（所以又喊做隱式Euler法），代表後褪Euler法嘅公式喺兩便都有 $y_{n+1}$ ，所以喺應用後褪歐拉法嗰陣，必須求解一個方程。噉樣令到實施更加昂貴。

其他啲對Euler法有助於穩定性嘅修改，產生唨指數Euler法或半隱式Euler法。

更複雜嘅方法可以實現更高嘅階數（以及更高嘅準確性）。一種可能性係使更多函數評估值（function evaluations）。對此，用返本文提過嘅中點法進行說明：

y_{n+1}=y_{n}+hf{\Big (}t_{n}+{\tfrac {1}{2}}h,y_{n}+{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n}){\Big )}

。

噉樣導向一系列Runge-Kutta法。

另一種可能性係使多尐過去值，似兩步Adams–Bashforth方法所示：

y_{n+1}=y_{n}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{n},y_{n})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n-1},y_{n-1}).

噉樣導向一系列線性多步法。仲有其他一啲修改，啲修改使用壓縮感測（compressive sensing）嘅技巧來最大程度噉減少內存使用。^[21]

流行文化

喺電影《NASA無名英雌》入便，Katherine Goble借助歐拉法來計算宇航員John Glenn由地球軌道嘅再入。 ^[22]

睇埋

Crank–Nicolson法（Crank–Nicolson method）
梯度下降同樣使用有限𨂾長，搵到函數嘅最細值
Runge-Kutta法同埋個列表（英文：List of Runge-Kutta methods）
線性多步法（Linear multistep method）
數值積分（攞嚟計算定積分）
常微分方程嘅數值方法（Numerical methods for ordinary differential equations）

註

↑ Butcher 2003, p. 45; Hairer, Nørsett & Wanner 1993, p. 35
↑ Atkinson 1989, p. 342; Butcher 2003, p. 60
↑ Butcher 2003, p. 45; Hairer, Nørsett & Wanner 1993, p. 36
↑ Butcher 2003, p. 3; Hairer, Nørsett & Wanner 1993, p. 2
↑ See also Atkinson 1989, p. 344
↑ Hairer, Nørsett & Wanner 1993, p. 40
↑ Atkinson 1989, p. 342; Hairer, Nørsett & Wanner 1993, p. 36
↑ Atkinson 1989, p. 342
↑ Atkinson 1989, p. 343
↑ Butcher 2003, p. 60
↑ Atkinson 1989, p. 342
↑ Stoer & Bulirsch 2002, p. 474
↑ Atkinson 1989, p. 344
↑ Butcher 2003, p. 49
↑ Atkinson 1989, p. 346; Lakoba 2012
↑ Iserles 1996, p. 7
↑ Butcher 2003, p. 63
↑ Butcher 2003, p. 70; Iserles 1996, p. 57
↑ Butcher 2003
↑ Butcher 2003
↑ Unni, M. P.; Chandra, M. G.; Kumar, A. A. (March 2017). "Memory reduction for numerical solution of differential equations using compressive sensing". 2017 IEEE 13th International Colloquium on Signal Processing Its Applications (CSPA): 79–84. doi:10.1109/CSPA.2017.8064928. ISBN 978-1-5090-1184-1.
↑ Khan, Amina. "Meet the 'Hidden Figures' mathematician who helped send Americans into space". Los Angeles Times. 喺12 February 2017搵到.

攷

Atkinson, Kendall A. (1989). An Introduction to Numerical Analysis (第2版). New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-50023-0.
Ascher, Uri M.; Petzold, Linda R. (1998). Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 978-0-89871-412-8.
Butcher, John C. (2003). Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-96758-3.
Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993). Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56670-0.
Iserles, Arieh (1996). A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55655-2.
Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002). Introduction to Numerical Analysis (第3版). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95452-3.
Lakoba, Taras I. (2012), Simple Euler method and its modifications (PDF) (Lecture notes for MATH334), University of Vermont, 喺29 February 2012搵到
Unni, M P. (2017). "Memory reduction for numerical solution of differential equations using compressive sensing". 2017 IEEE 13th International Colloquium on Signal Processing & its Applications (CSPA). IEEE CSPA. pp. 79–84. doi:10.1109/CSPA.2017.8064928. ISBN 978-1-5090-1184-1.

連出去

維基同享中有關歐拉法嘅資源類</img>
Rosetta Code用唔同語言實現嘅Euler法實現
Hazewinkel, Michiel, 編 (2001), "Euler method", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104

[1] Butcher 2003, p. 45; Hairer, Nørsett & Wanner 1993, p. 35

[2] Atkinson 1989, p. 342; Butcher 2003, p. 60

[3] Butcher 2003, p. 45; Hairer, Nørsett & Wanner 1993, p. 36

[4] Butcher 2003, p. 3; Hairer, Nørsett & Wanner 1993, p. 2

[5] See also Atkinson 1989, p. 344

[6] Hairer, Nørsett & Wanner 1993, p. 40

[7] Atkinson 1989, p. 342; Hairer, Nørsett & Wanner 1993, p. 36

[8] Atkinson 1989, p. 342

[9] Atkinson 1989, p. 343

[10] Butcher 2003, p. 60

[11] Atkinson 1989, p. 342

[12] Stoer & Bulirsch 2002, p. 474

[13] Atkinson 1989, p. 344

[14] Butcher 2003, p. 49

[15] Atkinson 1989, p. 346; Lakoba 2012

[16] Iserles 1996, p. 7

[17] Butcher 2003, p. 63

[18] Butcher 2003, p. 70; Iserles 1996, p. 57

[19] Butcher 2003

[20] Butcher 2003

[21] Unni, M. P.; Chandra, M. G.; Kumar, A. A. (March 2017). "Memory reduction for numerical solution of differential equations using compressive sensing". 2017 IEEE 13th International Colloquium on Signal Processing Its Applications (CSPA): 79–84. doi:10.1109/CSPA.2017.8064928. ISBN 978-1-5090-1184-1.

[22] Khan, Amina. "Meet the 'Hidden Figures' mathematician who helped send Americans into space". Los Angeles Times. 喺12 February 2017搵到.

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