正交基

喺線性代數當中，一個內積空間嘅正交基係元素兩兩正交嘅基。基中元素嘅模長都係單位長度 1 嘅正交基叫做標准正交基。

無論係喺有限維定係無限維空間入面，正交基嘅概念都係好重要嘅。喺無限維希爾伯特空間當中，正交基唔再係Hamel基，亦即係話唔係每個元素都可以寫得成有限個基中元素嘅線性組合。所以喺無限維空間入面，正交基應該更加嚴格咁定義為由線性無關而且兩兩正交嘅元素組成、張成嘅空間係原空間嘅一個稠密子空間（而唔係整個空間）嘅集合。

注意，喺冇定義內積嘅空間入面，「正交基」呢三個字係冇意義嘅。所以只有當一個巴拿赫空間係一個希爾伯特空間，佢先至會有正交基。

例子

• 喺歐幾里得空間 $\mathbb {R} ^{3}$ 入面，集合：$\{e_{1}=(1,0,0),e_{2}=(0,1,0),e_{3}=(0,0,1)\}$ 組成咗一個標准嘅正交基。

• 由 $f_{n}(x)=e^{2\pi \ln x}$ 定義嘅集合：

${f_{n}:n\in Z}$ 組成一個標准正交基喺複勒壁空間（L^p space） $\operatorname {L} ^{2}([0,1])$ 上。

基本性質

B係H上嘅一個正交基，係噉H中嘅每個元素x都可以表示得成：

$x=\sum _{b\in B}{\langle x,b\rangle \over \lVert b\rVert ^{2}}b$

B係標准正交基嗰陣時，就係：

$x=\sum _{b\in B}\langle x,b\rangle b$

x 嘅模長表示為：

$\|x\|^{2}=\sum _{b\in B}|\langle x,b\rangle |^{2}$.

即使B唔係可數嘅，上面累加式裡便嘅非零項亦都只會有可數多個，所以呢個表達式照舊係有效嘅。上式叫做x嘅傅利耶展開，詳見傅利耶級數。

若B係H上嘅一個標准正交基，係噉H同構於序列空間l²(B)。因為存在以下H -> l²(B)嘅雙射Φ，令到對於所有 H中嘅 x 同 y 有：

$\langle \Phi (x),\Phi (y)\rangle =\langle x,y\rangle$

正交基嘅存在性

運用佐恩引理同Gram-Schmidt正交化方法，可以證明得每個希爾伯特空間都有基，並且有正交基。同一個空間嘅正交基嘅基數必然係相同嘅。當一個希爾伯特空間有可數個元素組成嘅正交基，就說呢個空間係可分嘅。

Hamel基

有前面嘅定義可以知道，喺無窮維空間嘅情況下，正交基唔繼續係一般線性代數嘅定義下嘅基。為咗區分，叫一般線性代數嘅定義下嘅基係Hamel基。

喺內積空間嘅實際應用中，Hamel基甚少出現，因此提到「基」嘅概念陣時，一般指嘅係正交基。

參看

• 基 (線性代數)
• 正交
• 正交化
• Gram-Schmidt正交化
• 正交分解
• 正交矩陣
• 垂直