正弦波經過一條繩嘅時候,條繩上面每一點都會進行簡諧振動,然後條繩就可以產生音調。但係,有一條更加重要嘅公式,係關於嗰條正弦波嘅波速。假設嗰條繩嘅(水平)張力係 ,每單位長度嘅質量係 ,咁經過嗰條繩嘅正弦波嘅波速 係:

一啲繩嘅振動

證明

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Illustration for a vibrating string

睇下右面嘅圖。假設攞一橛好短嘅線段(咁樣成橛繩都可以當做同一個粒子),水平嚟計嘅長度係  (或者可以寫做  ,參考差動)。

考慮響距離   呢度嘅斜率,同埋力嘅分解,得到:

 

考慮響距離   呢度嘅斜率,同埋力嘅分解,得到:

 

但係,根據嘅定義,因為波嘅其中一個特性係剩係會傳播能量,而唔會傳播任何物質,所以係條波經過嘅地方,每一個粒子都只會上下咁振,而永遠唔會有水平方向嘅位移,再根據牛頓第一定律,得到:

 

於是,就可以得到:

 

 

考慮垂直方向嘅淨

 

只不過,根據牛頓第二定律

 

於是:

 

 

左邊嗰嚿嘢其實係二階偏導數  ,即係  。得到:

 

而根據波動方程, 。所以:

 

經過整理,得到  

如果想要嚴格啲嘅證明,可以用正弦波嘅函數表示公式:

 

咁樣以上得到嘅偏微分方程就會變成:

 

約走個正弦波函數表示公式再執靚佢,得到:

 

但係因為  ,所以條式變咗:

 

所以, 

出面網頁

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