繩圖

喺範疇論入面，繩圖係攞嚟畫出幺半範疇入面嘅態射或者2-範疇入面嘅2維胞。

定義

透過Poincaré對偶性，繩圖嘅主要目的就係用 2-d 維嘅結構嚟到代表 d 維嘅結構。 故此：

• 物件係用平面嘅某個區域嚟代表
• 一維胞 $f:A\rightarrow B$ 係用直線一段嚟到代表 f ，段嘢叫做「繩」，而係噉樣去間開塊平面做兩塊（左面對應 A 、右面對應 B ）。
• 二維胞 $\alpha :f\Rightarrow g:A\to B$係用唔同繩嘅交叉點嚟代表嘅，其中嘅 f 同 g 就分別係用交叉點以上同以下嘅一啲繩嚟代表嘅。

噉樣畫法呢，二維胞嘅平行構圖就等同打橫噉黐埋啲圖，而二維胞嘅循序構圖就等同打棟噉黐埋啲圖。講得白啲就係可以將啲繩圖當lego噉砌埋一齊嚟到連埋啲二維胞。

交換圖（左手邊）同繩圖（右手邊）之間嘅對偶性

例子

假設我哋有對伴隨函子 $(F,G,\eta ,\varepsilon )$ ，喺兩個範疇 ${\mathcal {C}}$ 同 ${\mathcal {D}}$ 之間嘅、有$F:{\mathcal {C}}\leftarrow {\mathcal {D}}$同$G:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}$分別做左伴隨函子同右伴隨函子、同埋有 $\eta :I\rightarrow GF$ 同 $\varepsilon :FG\rightarrow I$ 呢兩個自然交換嚟分別做單位元同餘單位元。噉樣嘅話呢，對應嘅自然交換就會係以下嘅三幅繩圖：

單位元嘅繩圖

餘單位元嘅繩圖

二維胞恒等式嘅繩圖

對應恆等函子嘅繩係可以用虛線嚟畫嘅，不過通常唔使畫。一對伴隨函子係需要以下嘅等式：

${\begin{aligned}(\varepsilon F)\circ F(\eta )&=1_{F}\\G(\varepsilon )\circ (\eta G)&=1_{G}\end{aligned}}$

第一個呢就可以噉樣畫出嚟：

等式 $(\varepsilon F)\circ F(\eta )=1_{F}$ 嘅圖表

其他畫圖表語言

態射喺啲幺半範疇入面係可以用繩圖嚟畫嘅，因為你可以當一個嚴格幺半範疇係一個得一個物件嘅2-範疇（所以淨係會得一款平面區域）同埋 Mac Lane 嘅嚴格化定理話乜嘢嘅幺半範疇都係幺半噉等同一個嚴幺半範疇嘅。畀幺半範疇用嘅繩圖語言係可以延伸到其他有唔同結構嘅範疇度，譬如辮性幺半範疇、劍性範疇等等，亦都同辮性幺半範疇與絲帶範疇嘅幾何圖形係有𪐀褦嘅。至於量子運算呢，呢科入面係有幾種繩圖語言係用嚟喺度推理量子位元（亦稱Q必）之間嘅線性映射，其中至出名嘅就係ZX運算。

出面網頁

• TheCatsters (2007). String diagrams 1 (streamed video). Youtube.
• String diagrams 可以喺 nLab 揾到