1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯

係一個發散級數,將自然數嘅階乘正負相間咁加埋,歐拉係第一個考慮呢條式嘅人。雖然佢係一條發散級數,但係根據Borel求和方法,可以話呢條式等於一個大約係0.596347嘅數值。

歐拉同Borel求和方法

編輯

歐拉係第一個諗呢條級數嘅人,佢用求和方法定咗一個值畀呢條級數。[1]呢條級數係將啲階乘一個正一個負咁樣加埋,一個定值嘅方法係用Borel求和方法,將級數寫做

 

如果唔考慮兩邊都發散,將求和同積分交換嘅話:

 

右邊方括號入邊嘅求和,如果  嘅話會數斂去 ,將 解晰延拓去成條正實數線就可以得到一個收斂嘅積分:

 

呢度E1(z)係指數積分,呢個就係用Borel求和方法搵出嚟嘅值。

同微分方程嘅關係

編輯

考慮微分方程偶合系統

 

其中上面嗰點代表對 t 做微分。

如果要t → ∞嘅時候(x,y) = (0,0)嗰點有穩定平衡嘅話,y(t) = 1/t,代返入第一條式就攞到級數解

 

留意 x(1) 正正就係歐拉級數。

另一方面,條微分方程嘅解係

 

係咁做分部積分嘅話,個級數解可以睇做呢個準確解嘅漸近展開,歐拉嘅諗法可以話係呢個級數解同準確解都係解緊同一條微分方程,所以喺 嘅時候佢哋應該相等,即係話

 

睇埋

編輯

參考資料

編輯
  1. Euler, L. (1760). "De seriebus divergentibus" [On divergent series]. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (5): 205–237. arXiv:1202.1506. Bibcode:2012arXiv1202.1506E.

書目

編輯