Freiheitssatz

喺組合羣論裡面，Freiheitssatz（德文，意思係「自由定理」或者「獨立定理」：Freiheit + Satz）係羣展示論嘅一個定理，指出單關係羣嘅某啲子羣係自由羣。

定理內容

考慮以下嘅羣展示：

$G=\langle x_{1},\dots ,x_{n}|r=1\rangle$

入面有 n 個生成元$x_{i}$同埋一個循環簡約（cyclically reduced）關係$r$，如果$x_{1}$有喺$r$入面出現嘅話，$G$入面由$x_{2},\ldots ,x_{n}$生成嘅子羣就係自由羣，換句話講，呢個子羣入面$x_{2},\ldots ,x_{n}$之間無任何關係。

歷史

呢個定理由德國數學家Max Dehn提出，由佢嘅學生Wilhelm Magnus喺佢嘅博士論文證明出嚟。Dehn原本諗住Magnus會用拓樸學嘅方法證明出嚟，點知Magnus最後係用數學歸納法加埋羣嘅共合積（amalgamated product）證到。之後Lyndon (1972)同Weinbaum (1972)都用唔同嘅歸納法方法證明到。

重要性

Freiheitssatz成為咗單關係羣論嘅基石，亦都推用共合積理論嘅發展，呢個定理亦都可以諗做向量空間同交換羣入面一啲簡單嘅定理向非交換羣論方向嘅推廣。