數學歸納法

數學歸納法粵拼:Sou3 hok6 gwai1 naap6 faat3英國話:Proof by mathematical induction)係一種數學上常用嘅證明方法。利用自然數(Natural number)嘅性質去證明一個有排序嘅命題(Proposition)。

數學歸納法法則

數學歸納法法則(Principal Mathematical Induction)係數學歸納法證明命題嘅邏輯。

首先要證明以下呢兩樣嘢:

  •   嘅時候,  呢個命題係啱嘅;
  •   呢個命題係啱嘅時候,可以引伸到   都係啱嘅;

假如以上兩點成立到嘅話,咁就有得話當   嘅時候,  呢個命題會係啱嘅,而推落去又有得話當   嘅時候,  呢個命題都會係啱嘅,如此類推,就有得話「對應所有嘅自然數    都會係啱」(For all natural number  ,   is true)。

基本方法

數學歸納法需要以下三個步驟:

  1. 基本步驟(Base step):證明命題喺   嘅時候係啱嘅。
  2. 歸納假設(Induction hypothesis):假設命題喺   嘅時候係啱嘅。
  3. 推斷(Inductive step):利用(2)嘅假設,證明命題喺   嘅時候都係啱嘅。

例子一

證明  

證明:

基本步驟:當   

 

歸納假設:假設  

推斷:想證明  係啱嘅。

 

  所以呢個命題對應所有嘅 係啱。

例子二

證明「如果   係非零整數,咁對應所有正整數    係正數。」

證明:

基本步驟:如果     係正數。

歸納假設:如果   係啱嘅話,即係   係正數。

推斷:如果  

 

最細整數性質

起點歸納

完全歸納

應用

加總類型

假設   係正整數。

  •  
  •  
  •  
  •  

乘完再加型

假設   係正整數。

  •  
  •  
  •  
  •  ,如果 
  •  

指數定律

假設   係正整數,  係整數。

  •  
  •  
  •  
  •  

簡單不等式

假設   係正整數。

  •  
  •  
  •    都係整數同埋  
  •  

不等式

假設   係正整數。

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  •   
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睇埋

參考

  • Tillema, E., Kilpatrick, J., Johnson, H., Grady, M., Konnova, S., & Heid, M. K. (2015). Proof by mathematical induction. Mathematical Understanding for Secondary Teaching: A Framework and Classroom-Based Situations, 433.