佩多不等式

幾何學佩多不等式,係關連兩個三角形不等式,以唐。佩多(Don Pedoe)嚟命名。

呢個不等式指出:如果第一個三角形嘅邊長係 面積,第二個三角形嘅邊長係 面積,咁:

等式成立 IF AND ONLY IF 兩個三角形係一對相似三角形,對應邊成比例;
亦即係

證明

    • 海倫公式,兩個三角形嘅面積可用邊長表示為
 
 ,
再由柯西不等式
 
 
 
於是,
 
  ,命題得到咗證實。

等號成立 IF AND ONLY IF   ,亦都即係話兩個三角形相似。


    • 幾何證法

三角形嘅面積同邊長嘅平方成正比,所以喺要證明嘅果條式嘅兩邊都乘以一個系數  ,使到  ,幾何意義係將第二個三角形取相似。

假設呢個時候 A、B、C 變成 x、y、z,F 變成 F'。
考慮 AA' 嘅長度。由余弦公式,
 
 

 , 代入就變成:

 
兩邊化簡咗之後同時乘以  ,並注意到 a = x,就可得到原不等式。
等號成立 IF AND ONLY IF A 同 A' 重合,即兩個三角形相似。