不等式

不等式（英文：inequality），通俗講法叫唔等如或者唔等於，係數學上一個基本概念，喺任何數學領域入面都會出現或者用到，最常見嘅就係數學分析。不等式係嚟自於實數嘅三叉性質，但係佢推廣去好多其他地方。

不等式最基本嘅概念，係同等式或者叫等於相反，不等式可以分為四類：

• $a<b$，$a$細過$b$。
• $a>b$，$a$大過$b$。
• $a\leq b$，$a$細過或者等於$b$。
• $a\geq b$，$a$大過或者等於$b$。

基本例子

假設有一個集$\{1,2,3,4,5\}$，用返平時自然數嘅大細次序，咁就有$1<2<3<4<5$，亦都有$5>4>3>2>1$，同時$1\leq 1\leq 2\leq 2\cdots \leq 5\leq 5$都係啱嘅。

定義

三叉性質（Trichotomy Property）

考慮$\mathrm {P}$係$\mathbb {R}$嘅一個子集，$\mathrm {P}$係一個整實數嘅子集，然後$\mathrm {P}$符合以下三項特性：

• 如果$a,b\in \mathrm {P}$，咁樣$a+b\in \mathrm {P}$。
• 如果$a,b\in \mathrm {P}$，咁樣$a\times b\in \mathrm {P}$。
• 所有$\mathbb {R}$入面嘅元素，叫$a\in \mathbb {R}$，都係必定符合以下其中一項。
  • $a\in \mathrm {P}$
  • $a=0$
  • $-a\in \mathrm {P}$

因為呢個三叉性質，$\mathbb {R}$入面嘅數字可以分做正數、負數同埋零。就係因為噉，所以產生咗不等式。從而$\mathbb {R}$入面嘅數字有大細之分。

定義

假設有兩個數字$a,b\in \mathbb {R}$。

• 如果$a-b\in \mathrm {P}$，就可以寫做$a>b$或者$b<a$。
• 如果$a-b\in \mathrm {P} \cup \{0\}$，就可以寫做$a\geq b$或者$b\leq a$。

其實以上嘅定義只係將簡介所講嘅四類不等式用集合論嘅角色寫多次，其實係無太大分別。

喺邏輯上，$1\leq 2$係合理無錯嘅。

性質

假設有任何三個數字$a,b,c\in \mathbb {R}$，以下嘅性質都係啱既：

• 如果$a>b$同埋$b>c$，咁$a>c$。
• 如果$a>b$，咁$a+c>b+c$。
• 如果$a>b$同埋$c>0$，咁$ca>cb$。
• 如果$a>b$同埋$c<0$，咁$ca<cb$。

證明：

假設$a>b$同埋$b>c$，咁樣$a-b\in \mathrm {P}$同埋$b-c\in \mathrm {P}$。

將兩者相加，得出$(a-b)+(b-c)=a+(-b+b)-c=a-c\in \mathrm {P}$。

姐係$a-c\in \mathrm {P} \implies a>c$。

假設$a>b$，咁樣$a-b\in \mathrm {P}$。

加一個零畀佢，令到$a-b+0=a-b+(c-c)=(a+c)-(b+c)\in \mathrm {P}$。

即係$(a+c)-(b+c)\in \mathrm {P} \implies a+c>b+c$。

假設$a>b$同埋$c>0$，咁樣$a-b\in \mathrm {P}$同埋$c\in \mathrm {P}$。

用常理得知$ca-cb=c(a-b)$，利用三叉性質得知，$ca-cb\in \mathrm {P}$。

姐係$ca-cb\in \mathrm {P} \implies ca>cb$。

假設$a>b$同埋$c<0$，咁樣$a-b\in \mathrm {P}$同埋$-c\in \mathrm {P}$。

用常理得知$(-c)a-(-c)b=(-c)(a-b)$，利用三叉性質得知，$(-c)a-(-c)b\in \mathrm {P} =cb-ca\in \mathrm {P}$。

即係$cb-ca\in \mathrm {P} \implies cb>ca$。

推論

推論一

如果$a\in \mathbb {R}$同埋$a\neq 0$，咁$a^{2}>0$

證明：

利用三叉性質得知，所有唔等於零嘅數字都係$a\in \mathrm {P}$或者$-a\in \mathrm {P}$。

如果$a\in \mathrm {P}$，咁$a\times a=a^{2}\in \mathrm {P}$。

如果$-a\in \mathrm {P}$，咁$-a\times -a=(-a)^{2}=a^{2}\in \mathrm {P}$。

推論二

$1>0$

證明：

因為$1=1^{2}$，利用上面得知$1>0$。

推論三

任何一個自然數$n\in \mathbb {N}$，$n>0$

「正正得正，正負得負，負正得正，負負得正」

「正正得正，正負得負，負正得正，負負得正」其實係嚟自不等式，而且係可以證明。

假設$ab>0$，咁即係話：

• $a>0$同埋$b>0$；或者
• $a<0$同埋$b<0$

承上題，假設$ab<0$，咁即係話：

• $a>0$同埋$b<0$；或者
• $a<0$同埋$b>0$

睇埋

• 等如
• 實數
• 絕對值
• 算幾不等式
• 三角不等式
• 加總平均不等式
• 乘積平均不等式
• 伯努尼不等式
• 不等號
• 不等式一覽