幾何學

幾何學（粵拼：gei2 ho4 hok6；英文：geometry；古希臘文：γεωμετρία，「geometria」）係數學嘅一個子領域，專門思考有關形狀、大細、物件嘅相對位置以及空間嘅特性等嘅課題。幾何學理論以點、直綫、平面、角以及維度等嘅概念為基礎，會用數學證明（mathematical proof）嘅方法，證明描述呢啲概念嘅定理，靠噉嚟增進人類對呢啲概念－以及呢啲概念相應嘅現實世界物件－嘅理解[1][2]。

幾何學會思考形狀、線同角度等嘅特性。

幾何學歷史悠久：公元前嘅古希臘等多個遠古文明都有獨立噉建立幾何學方法思考長度、面積同容量等嘅概念，用嚟做設計建築等嘅多種用途[1][3]；形式化嘅幾何學源於古希臘－喺公元前 3 世紀，古希臘數學家歐幾里得（Euclid）喺佢本名著《幾何原本》（The Elements）當中用公理化嘅方法證明咗多條幾何學上嘅定理，為後世嘅幾何學研究奠定咗一個重要嘅根基[4]。而中世紀（5 至 15 世紀）及打後嘅數學家亦一直有將幾何學再發展上去[5]。

喺廿一世紀初嘅世界，幾何學知識相當有影響力[6]，喺好多科學同工程學領域上都相當有用，例如：

  • 古典力學（classical mechanics；描述地球環境下嘅力同移動嘅一套物理學理論框架）喺分析物件嘅移動嗰陣，就好興將分析緊嘅物件抽象化噉想像成幾何形狀，亦都成日會用到距離（可以想像成空間入面兩點之間條線嘅長度）同速度（每單位時間行幾遠距離）等建基於幾何學思考嘅概念[7]。
  • 電腦圖像（computer graphics）泛指用電腦整嘅圖像；喺整三維模型（3D model）嗰時，部電腦要做運算，中途用到有關「個三維模型呢條邊有幾長」同「個三維模型呢隻角有幾大」等嘅資訊，而喺整電腦動畫嗰陣，部電腦又往往要計啲三維模型要「向邊個方向移幾遠距離」等嘅問題[8]。
  • 建築學（architecture）係指研究建築物要點設計嘅一套學問。建築學會用對建築物作出幾何分析，而建築物唔同部位嘅角度同長度等變數會對棟建築物穩唔穩陣同有冇美感造成具體嘅影響[9]。

... 等等。

理論基礎改

 
描繪畫家想像中嘅歐幾里得嘅畫
內文： 幾何學理論基礎

幾何學理論基礎（foundations of geometry）係指嘗試用公理化嘅方式推導出一套有系統嘅幾何學嘅數學性研究。喺建立幾何學理論嗰陣，數學家希望做到用以下呢幾樣嘢砌出一個內部一致（consistent；即係唔能夠由個理論嗰度推導出邏輯性矛盾）嘅理論[4][10]：

  • 原始諗法（primitive notion）：即係一啲最基本、唔使定義嘅概念，例如點同直綫等嘅概念喺歐幾里得嗰套幾何理論當中係原始諗法，而唔係原始諗法嘅概念就要用原始諗法嚟定義，例如「兩條線嘅相交點」會用點以及直綫呢兩個概念嚟定義；
  • 公理（axiom）：即係一啲描述原始諗法、被認為係不證自明嘅陳述式，而且唔能夠由第啲公理嗰度推理出嚟，例如「是但搵任何兩點，都有可能畫條通過呢兩點嘅直綫」就係歐幾里得嗰套幾何理論嘅其中一條公理，即係歐幾里得認為呢句嘢好明顯，唔使證明都可以當係真確[11]；
  • 邏輯上嘅定律；

數學家一般都希望一套幾何學理論所用嘅原始諗法同公理數量有咁少得咁少（可以睇埋奧坎剃刀）；喺有咗啲原始諗法同公理之後，數學家就會做數學證明，嘗試由公理同邏輯上嘅定律嗰度證明新嘅定理（theorem），最後呢啲公理同定理就形成一套幾何理論。喺廿一世紀，有唔少數學家仲喺度思考（例如）有冇方法可以用某啲被認公理嘅陳述式嗰度，推理出第啲被認為係公理嘅陳述式，諗住噉做可能幫到手建立一套用嘅公理數量更加少嘅幾何理論[12][13]。

重要概念改

點改

內文： 點 (幾何)

直綫改

內文： 直綫

平面改

內文： 平面

角改

內文： 角 (幾何)

曲綫改

內文： 曲綫

表面改

內文： 表面

流形改

內文： 流形

長度、面積同體積改

內文： 長度、 面積、 同 體積

子領域改

拓撲學改

內文： 拓撲學

應用改

簡史改

內文： 幾何學史

睇埋改

攷改

  1. ↑ 1.0 1.1 Vincenzo De Risi (31 January 2015). Mathematizing Space: The Objects of Geometry from Antiquity to the Early Modern Age. Birkhäuser. pp. 1–.
  2. ↑ Tabak, John (2014). Geometry: the language of space and form. Infobase Publishing. p. xiv.
  3. ↑ Staal, Frits (1999), "Greek and Vedic Geometry", Journal of Indian Philosophy, 27 (1–2): 105–127.
  4. ↑ 4.0 4.1 Martin J. Turner; Jonathan M. Blackledge; Patrick R. Andrews (1998). Fractal geometry in digital imaging. Academic Press. p. 1.
  5. ↑ Boyer, C.B. (1991) [1989]. A History of Mathematics (Second edition, revised by Uta C. Merzbach ed.). New York: Wiley. p. 43.
  6. ↑ Lamb, Evelyn (8 November 2015). "By Solving the Mysteries of Shape-Shifting Spaces, Mathematician Wins $3-Million Prize". Scientific American.
  7. ↑ Hestenes, D. (2012). New foundations for classical mechanics (Vol. 15). Springer Science & Business Media.
  8. ↑ Marsh, D. (2006). Applied geometry for computer graphics and CAD. Springer.
  9. ↑ Guillén, M. F. (1997). Scientific management's lost aesthetic: Architecture, organization, and the Taylorized beauty of the mechanical. Administrative Science Quarterly, 682-715.
  10. ↑ Wylie Jr., C.R. (1964), Foundations of Geometry, New York: McGraw–Hill.
  11. ↑ Victor J. Katz (21 September 2000). Using History to Teach Mathematics: An International Perspective. Cambridge University Press. pp. 45-.
  12. ↑ Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, Inc. pp. 105-8.
  13. ↑ Robin Hartshorne (11 November 2013). Geometry: Euclid and Beyond. Springer Science & Business Media. pp. 29-.
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