幾何學粵拼gei2 ho4 hok6英文geometry古希臘文γεωμετρίαgeometria)係數學嘅一個子領域,專門思考有關形狀物體嘅相對位置以及空間嘅特性等嘅課題。幾何學理論以直綫平面以及維度等嘅概念為基礎,會用數學證明嘅方法,證明描述呢啲概念嘅定理,靠噉嚟增進人類對呢啲概念-以及呢啲概念相應嘅現實世界物體-嘅理解[1][2]

幾何學會思考形狀角度等嘅特性。

幾何學歷史悠久:公元前古希臘等多個遠古文明都有獨立噉建立幾何學方法諗長度面積容量等嘅概念,用嚟做設計建築等嘅多種用途[1][3];形式化嘅幾何學源於古希臘-喺公元前 3 世紀,古希臘數學家歐幾里得(Euclid)喺佢本名著《幾何原本》(Elements)當中用公理化嘅方法證明咗多條幾何學上嘅定理,為後世嘅幾何學研究奠定咗一個重要嘅根基[4]。而中世紀(5 至 15 世紀)及打後嘅數學家亦一直有將幾何學再發展上去[5]

喺廿一世紀初,幾何學知識相當有影響力[6],喺好多科學工程學領域上都相當有用,例如:古典力學喺分析物體嘅移動嗰陣,成日都會用到距離速率呢啲建基於幾何學嘅概念[7]電腦圖像泛指用電腦整嘅圖像,而一部電腦三維模型嗰時要做運算,中途用到「個模型呢條呢條邊有幾長」同「個模型呢隻呢隻角有幾大」噉嘅資訊[8]建築學研究建築物設計,會對建築物作出幾何分析-建築物唔同部位嘅角度同長度會影響棟建築物穩唔穩陣[9]... 呀噉。

理論基礎

 
立方體係幾何學上最常研究嘅物體之一。
內文:幾何學理論基礎
睇埋:數學同埋集合論

幾何學理論基礎係指嘗試用公理化嘅方式推導出一套有系統嘅幾何學嘅數學研究。喺建立幾何學理論嗰陣,數學家希望做到用以下呢幾樣嘢砌出一個內部一致(即係唔能夠由個理論嗰度推導出邏輯性矛盾)嘅理論[4][10]

  • 原始諗法(primitive notion):即係一啲最基本、唔使定義嘅概念,例如直綫等嘅概念喺歐幾里得嗰套幾何理論當中係原始諗法,而唔係原始諗法嘅概念就要用原始諗法嚟定義,例如「兩條線嘅相交點」會用點以及直綫呢兩個概念嚟定義;
  • 公理(axiom):即係一啲描述原始諗法、被認為係不證自明嘅陳述式,而且唔能夠由第啲公理嗰度推理出嚟,例如「是但搵任何兩點,都有可能畫條通過呢兩點嘅直綫」就係歐幾里得嗰套幾何理論嘅其中一條公理,即係歐幾里得認為呢句嘢好明顯,唔使證明都可以當係真確[11]
  • 邏輯上嘅定律;

數學家一般都希望一套幾何學理論所用嘅原始諗法同公理數量有咁少得咁少(可以睇埋奧坎剃刀);喺有咗啲原始諗法同公理之後,數學家就會做數學證明,嘗試由公理同邏輯上嘅定律嗰度證明新嘅定理,最後呢啲公理同定理就形成一套幾何理論。喺廿一世紀,有唔少數學家仲喺度思考(例如)有冇方法可以用某啲被認公理嘅陳述式嗰度,推理出第啲被認為係公理嘅陳述式,諗住噉做可能幫到手建立一套用嘅公理數量更加少嘅幾何理論[12][13]

歐氏公理

睇埋:歐幾里得幾何

歐幾里得幾何(Euclidean geometry)係由著名古希臘數學家歐幾里得諗出嚟嘅一套幾何學,亦係公元頭嗰兩個千年內嘅標準幾何學。响佢本名著《幾何原本》(Elements)裏面,歐幾里得提出咗五條公理,以「假設咗呢五條公理係真確」做前提嚟諗幾何學[14]

  1. 是但搵兩    嚟睇,嗰兩點之間都可以有條獨一無二嘅直線將兩點連接埋一齊。
  2. 一條直線(最少理論上)可以無限噉延長。
  3. 有咗「圓心」同「直徑」呢兩樣資訊,就可以建構一個圓形
  4. 所有嘅直角冚唪唥都係一個板嘅。
  5. 平行公設(parallel postulate):是但搵條線   同點  ,當中   唔喺   上面,都實會有一條獨一無二嘅直線會係通過   得嚟又唔會同   相交嘅-即係話呢條線同   平行。而如果兩條線之間唔係平行,噉兩條線無限延長最後實會令到兩條線相交(好似下圖噉)。

然後歐幾里得就攞住呢五條公理、用數學證明嘅方法證明咗當時已知嘅幾何學定理[註 1]

幾何物體

睇埋:空間 (數學)笛卡兒坐標系統同埋形狀

 
平面上面嘅一拃點;每粒點都可以想像成「塊平面」呢個入面嘅一個元素
內文:點 (幾何)
睇埋:元素 (數學)

係幾何學上嘅一個原始諗法。簡化噉講,點可以定義做「喺空間裡面有確切位置而唔佔用空間嘅嘢」,冇長度闊度[註 2];而技術性啲噉講嘅話,現代數學有咗集合論,喺呢套理論框架下點通常俾人定義做「一個空間)入面嘅一個元素」,例如想講一塊平面上面嘅一點,首先就會定義塊平面係[15]

 

塊平面上嘅一點   就係  入面嘅元素;用日常用語講嘅話,即係   可以寫做  ,當中    都係實數。值得一提嘅係,點原則上係一個抽象化概念,淨係存在喺人嘅想像之中-理論上嘅點係冇長度同闊度嘅,而當一個人攞支筆畫一粒肉眼睇得到嘅點嗰陣(好似下圖噉),嗰點查實經已有返咁上下長度同闊度(所以人先可以用肉眼睇到),嚴格嚟講唔可以算係一點,頂嗮櫳只可以算係用嚟表示一點嘅符號[16]

點係幾何學最根基嘅諗頭-有咗點嘅概念,就有得定義同闡述第啲重要嘅幾何學概念同諗法,例如「是但兩點之間都可以畫條獨一無二嘅綫」呢條公理[16]

直線

內文:直線
睇埋:線性關係同埋間尺

直線係幾何學想像中一種「冇闊度、有長度嘅嘢」,當中「直」係指「上面啲均勻噉分佈嘅線」:

  • 攞住點嘅概念,想像攞是但兩點   ,喺    之間有無限咁多粒點,嗰啲點之間每對點之間嘅距離都係恆定嘅( );
  • 集合論嘅角度嚟睇嘅話,一條線可以想像成由一大拃點組成嘅-精確啲講,喺現代幾何學入面,直線通常俾人定義做「喺個線性空間入面,有某種線性關係」;是但攞一粒點   同一條線   嚟睇,「   上面」或者「  唔喺   上面」都會係有意義嘅句子-句嘢一係一係
  • 平面入面嘅直線有個性質,就係是但搵兩點,嗰兩點都可以用一條直線連接(睇返歐幾里得幾何嘅第一公理),而且喺所有「能夠連接兩點嘅線」之中直線係長度最短嘅;

好似下圖噉就係一條「線」-下圖條線實質上有闊度(如果唔係就唔會用肉眼睇得到),所以只係一個用嚟表示一條線嘅符號[17]

歐幾里得幾何入面,兩條直線之間可以有交點(intersection;一粒同時屬嗰兩條線嘅點),又可以有平行(parallel)嘅關係-如果話兩條線係平行嘅,意思係話無論將嗰兩線延長幾多都好,兩條線都唔會有交點[18]。好似下圖噉,下圖有三條線    ,當中    喺 ABCD 嗰點相交,而    喺 EFGH 嗰點相交,   平行:

喺歐幾里得空間以外嘅空間,直線未必有一個線性嘅結構,所以冇得定義嗰啲空間入面嘅直線。

平面

內文:平面

喺歐幾里得幾何裏面,一塊平面係一塊二維而且冇曲率[註 3]嘅一嚿幾何物體,有長度闊度但冇高度,(最少理論上)可以向住任何方向無限噉延伸。如果用最常用嗰隻坐標系統嚟諗嘅話,平面同直線嘅分別可以想像成「要用幾多個數先可以描述一點嘅位置」(睇埋維度)-如果要描述一點喺條線上面邊個位,淨係要用一個數,例如  ,而如果要描述一點喺塊平面上面邊個位,就要用兩個數至得,例如   [19]。順帶一提,歐幾里得研究嘅幾何好大部份都係喺平面入面發生嘅幾何(即係所謂嘅平面幾何),包括咗平面上面嘅三角形圓形平行線角度呀噉。

下圖係互相成平行嘅三塊平面(想像三塊平面都冇高度-即係無限咁薄):

平面有好多特別嘅性質[20][21]

  • 是但攞兩塊唔同嘅平面,佢哋一係彼此成平行、一係就會係某條線嗰度相交
  • 是但攞一塊平面同一條線,條線一係同塊平面成平行、一係會喺某點同塊平面相交、再唔係就可能喺塊平面上面;
  • 如果有兩條唔同嘅線,兩條都係同一塊平面成垂直(簡化講就係成 90° ),噉兩條線實係平行嘅;
  • 如果有兩塊平面都同某條線成垂直,噉兩塊平面實係成平行嘅;

... 呀噉。

 
圓形係一種二維形狀;一個圓形條邊上面嘅每一點   都會滿足以下條式-
 
當中   係個圓心嘅坐標值,而   係個圓形嘅半徑有幾長。

內文:角 (幾何)
睇埋:量角器

攞一點(例如上圖嗰個  ),由嗰點向住兩個方向(例如上圖嘅   )各射一條射線出去嘅話,兩條射線之間就會形成一隻(上圖  ),而角度就係指一隻角有幾大。喺實際嘅幾何分析上,一隻角通常會用   噉嘅符號嚟表示,上圖嘅   會寫做「 」噉嘅樣。歐幾里得已經對角呢個概念有公理化嘅研究,例如[22]

  • 直角冚唪唥都係一樣咁大嘅」、
  • 「一條直線相當於兩隻直角」

... 等等嘅諗法,歐幾里得都有提到。

曲綫

 
一個保角映射,可以見到雖然有啲直線變咗做曲線,但係如果原本兩條直線係成直角嘅話,出嚟嘅兩條曲線都會成直角。
內文:曲綫

曲綫(curve)即係一維嘅物體,曲嘅意思應該理解做「可能係唔直嘅」噉嘅意思,而係數學入面,直綫都計係曲綫嘅一種;喺平面入面嘅曲綫叫做平面曲綫(plane curve),立體空間入面曲綫就叫做空間曲綫(space curve)。

拓樸學入面,曲綫嘅定義係由一個實線上面嘅開區間打去一個空間嘅連續函數;而喺微分幾何入面,定義都類似,不過個函數就要求係連續可微或者係光滑嘅。代數幾何入面就會研究代數曲線(algebraic curve),定義係一維嘅代數簇

曲面

內文:曲面
 
一個虧格係3嘅曲面

曲面係指二維嘅物體,喺拓樸學同微分幾何入面,曲面係由一咋二維嘅「patch」透過同胚或者係微分同胚黐埋一齊;而喺代數幾何嘅世界入面,幾何物體係用多項式嚟定義嘅,所以用好粗略嘅講法嚟講,喺n維空間上面用n-2條多項式嚟定義嘅話,就會得到一個曲面。當然呢個講法唔係好準確,因為要考慮到啲多項式係咪完全相交(complete intersection)嘅問題。一個好啲嘅定義嘅方法係用維度,但係喺代數嘅世界入面有幾種維度嘅定義,例如投影維度深度Koszul序列等等,要視乎邊一種喺嗰個情況好用啲。

流形

內文:流形

流形係曲線、曲面嘅推廣,喺拓樸學入邊,流形係一種拓樸空間,每點嘅附近都好似(同胚)歐幾里得空間。喺微分幾何入邊,可微流形上邊更加要有一個微分結構,等幾何學家可以喺上邊做微積分

物理學入邊都經常會用到流形,例如係研究相對論弦論等等。

第啲重要概念

長度、面積同體積

內文:長度面積、 同 體積

長度(length)、面積(area)、體積(volume)都係講緊一樣嘢嘅「大細」,不過係講緊唔同維度嘅嘢。一維嘅,例如線段射線曲線嘅大細就叫長度,二維嘅例如三角形圓形曲面嘅大細就叫面積,三維嘅例如球形正方體嘅大細就叫體積。

歐幾里得幾何或者分析幾何入邊,直線嘅長度好多時都係用勾股定理嚟計嘅。

一啲簡單嘅形狀嘅面積同體積可以用啲公式嚟計,呢啲公式係好耐以前嘅數學家搵出嚟嘅,例如球體嘅體積係 ,呢度 係個波嘅半徑。複雜啲嘅形狀嘅面積或者體積可以用(黎曼積分嚟計,再複雜啲集合嘅可以用勒貝格積分計。不過有啲集合嘅大細係無定義嘅,例如域他利集合(Vitali set)咁,因為無論定義佢嘅大細係咩都會造成矛盾。

順帶一提,喺高等數學入邊(大學或以上),好多時啲人或者啲書會將長度、面積、體積等等嘅概念統稱做體積(volume),唔理佢嘅維度係乜。

對稱

內文:對稱

全等同相似

內文:全等相似

全等相似都係用嚟講兩個物件有幾類似嘅概念,喺平面幾何入邊,相似就係話兩件物件嘅形狀相同,而全等就係話佢哋形狀同大細都相同。喺球面雙曲幾何入邊係無相似三角形嘅概念嘅,只有全等三角形

囂拔喺將幾何公理化嗰陣,將全等當成一個無定義名詞,並用公理去刻劃佢嘅性質。變換幾何學推廣咗全等同相似嘅概念,研究喺唔同嘅變換之下邊啲幾何性質係唔變嘅。

維度

內文:維度

子領域

應用

哲學相關

睇埋:理型論

幾何學史

內文:幾何學史

註釋

  1. 不過,喺歷史上有數學家試過對啲公理嘅具體定義作出修改,即係將條公理嘅定義改成比較清楚嘅形式,但改前改後條公理都係可以攞嚟證明嗰啲定理嘅。
  2. 歐幾里得都係用呢個定義嘅。
  3. 簡化噉講,一條線嘅曲率可以由「能夠貼切嗰條線嘅圓形直徑」嚟反映,而對應一條完美直線嘅圓形直徑會係無限大

睇埋

文獻

  • Boyer, C.B. (1991) [1989]. A History of Mathematics (Second edition, revised by Uta C. Merzbach ed.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.
  • Cooke, Roger (2005). The History of Mathematics. New York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-44459-6.
  • Hayashi, Takao (2003). "Indian Mathematics". In Grattan-Guinness, Ivor (ed.). Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences. Vol. 1. Baltimore, MD: The Johns Hopkins University Press. pp. 118–130. ISBN 978-0-8018-7396-6.
  • Hayashi, Takao (2005). "Indian Mathematics". In Flood, Gavin (ed.). The Blackwell Companion to Hinduism. Oxford: Basil Blackwell. pp. 360–375. ISBN 978-1-4051-3251-0.
  • Jay Kappraff (2014). A Participatory Approach to Modern Geometry. World Scientific Publishing. doi:10.1142/8952. ISBN 978-981-4556-70-5.
  • Leonard Mlodinow (2002). Euclid's Window - The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace (UK ed.). Allen Lane. ISBN 978-0-7139-9634-0.
  • Nikolai I. Lobachevsky (2010). Pangeometry. Heritage of European Mathematics Series. Vol. 4. translator and editor: A. Papadopoulos. European Mathematical Society.

  1. 1.0 1.1 Vincenzo De Risi (31 January 2015). Mathematizing Space: The Objects of Geometry from Antiquity to the Early Modern Age. Birkhäuser. pp. 1–.
  2. Tabak, John (2014). Geometry: the language of space and form. Infobase Publishing. p. xiv.
  3. Staal, Frits (1999), "Greek and Vedic Geometry", Journal of Indian Philosophy, 27 (1–2): 105–127.
  4. 4.0 4.1 Martin J. Turner; Jonathan M. Blackledge; Patrick R. Andrews (1998). Fractal geometry in digital imaging. Academic Press. p. 1.
  5. Boyer, C.B. (1991) [1989]. A History of Mathematics (Second edition, revised by Uta C. Merzbach ed.). New York: Wiley. p. 43.
  6. Lamb, Evelyn (8 November 2015). "By Solving the Mysteries of Shape-Shifting Spaces, Mathematician Wins $3-Million Prize". Scientific American.
  7. Hestenes, D. (2012). New foundations for classical mechanics (Vol. 15). Springer Science & Business Media.
  8. Marsh, D. (2006). Applied geometry for computer graphics and CAD. Springer.
  9. Guillén, M. F. (1997). Scientific management's lost aesthetic: Architecture, organization, and the Taylorized beauty of the mechanical. Administrative Science Quarterly, 682-715.
  10. Wylie Jr., C.R. (1964), Foundations of Geometry, New York: McGraw–Hill.
  11. Victor J. Katz (21 September 2000). Using History to Teach Mathematics: An International Perspective. Cambridge University Press. pp. 45-.
  12. Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, Inc. pp. 105-8.
  13. Robin Hartshorne (11 November 2013). Geometry: Euclid and Beyond. Springer Science & Business Media. pp. 29-.
  14. Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] ed.). New York: Dover Publications. In 3 vols.: vol. 1
  15. Euclid's Elements - All thirteen books in one volume, Based on Heath's translation, Green Lion Press.
  16. 16.0 16.1 Clark, Bowman L. (January 1985). "Individuals and Points". Notre Dame Journal of Formal Logic. 26 (1): 61-75.
  17. Coxeter, H.S.M (1969). Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons. p. 4.
  18. Wylie Jr., C. R. (1964), Foundations of Geometry, McGraw-Hill. pp. 92-94.
  19. Szmielew, Wanda. From affine to Euclidean geometry: An axiomatic approach. Springer, (1983).
  20. Hadwiger, H., Debrunner, H., & Klee, V. (2015). Combinatorial geometry in the plane. Courier Corporation.
  21. Klee, V., & Wagon, S. (1991). Old and new unsolved problems in plane geometry and number theory (No. 11). Cambridge University Press.
  22. Henderson, David W.; Taimina, Daina (2005), Experiencing Geometry / Euclidean and Non-Euclidean with History (3rd ed.), Pearson Prentice Hall, p. 104