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增減數列

數學分析入面,數列既基本定理之一

增減數列(Monotone Sequence)係數學上其中一種數列,數列入面嘅數值只可以增加或者減少,所以叫做增減數列。

定義

假設 係實數列。

如果

 
 就係增長數列(Increasing)。

如果

 
 就係遞減數列(Decreasing)。

如果 係增長或者係遞減,咁佢就係一條增減數列。

增減趨向定理

假設 係一條增減數列而家趨向一點,咁佢一定係被綁定,反之亦然。( )同時,

如果 係增長數列,咁 

如果 係遞減數列,咁 

證明:

  因為綁定性質,所以係啱嘅。

  假設 係被綁定同時佢係增長數列。

因為佢係被綁定,所以會存在一個實數 ,令到所有嘅項都符合 

利用實數嘅完備定理,可以知到會有一點 。(想要證明到 就係 趨向嗰一點)

畀任何一個 ,將 ,並得知佢唔係 嘅上限,所以會有一個第 項符合 

因為 係增長數列,所以一定會有堆項數 符合, 

因此, 

得出, 

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