增減數列

增減數列（Monotone Sequence）係數學上其中一種數列，數列入面嘅數值只可以增加或者減少，所以叫做增減數列。

定義

假設 $(x_{n})$ 係實數列。

如果 $x_{1}\leq x_{2}\leq x_{3}\leq \cdots \leq x_{n}\leq x_{n+1}\leq \cdots$ 咁 $(x_{n})$ 就係增長數列（Increasing）。

如果 $x_{1}\geq x_{2}\geq x_{3}\geq \cdots \geq x_{n}\geq x_{n+1}\geq \cdots$ 咁 $(x_{n})$ 就係遞減數列（Decreasing）。

如果 $(x_{n})$ 係增長或者係遞減，咁佢就係一條增減數列。

假設 $(x_{n})$ 係一條增減數列而家趨向一點，咁佢一定係被綁定，反之亦然。（ $\iff$ ）同時，

如果 $(x_{n})$ 係增長數列，咁 $\lim(x_{n})=\sup\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \}$ 。

如果 $(x_{n})$ 係遞減數列，咁 $\lim(x_{n})=\inf\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \}$ 。

證明：

$(\Rightarrow )$ 因為綁定性質，所以係啱嘅。

$(\Leftarrow )$ 假設 $(x_{n})$ 係被綁定同時佢係增長數列。

因為佢係被綁定，所以會存在一個實數 $M\in \mathbb {R}$ ，令到所有嘅項都符合 $x_{n}\leq M$ 。

利用實數嘅完備定理，可以知到會有一點 $x:=\sup\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \}$ 。（想要證明到 $x$ 就係 $(x_{n})$ 趨向嗰一點）

畀任何一個 $\varepsilon >0$ ，將 $x-\varepsilon$ ，並得知佢唔係 $(x_{n})$ 嘅上限，所以會有一個第 $x_{K}$ 項符合 $x-\varepsilon <x_{K}$ 。

因為 $(x_{n})$ 係增長數列，所以一定會有堆項數 $n\geq K$ 符合， $x_{K}\leq x_{n}$ 。

因此， $x-\varepsilon <x_{K}\leq x_{n}\leq x\leq x+\varepsilon$ 。

得出， $|x_{n}-x|<\varepsilon ,\,\forall n\geq K$ 。