極限 (數列)

呢篇文係講數列嘅極限，唔係講函數嘅極限。

數列嘅極限（Limit of Sequence）係數學分析一個簡單同基本嘅概念。

定義

數列嘅極限有幾個唔同嘅定義，下面呢個係最基本，最通用嘅其中一個。

假設有一串實數（ $\mathbb {R}$ ）數列 $X=(x_{n})$ 。如果以下條件成立，

「揀任何一個 $\varepsilon >0$ ，佢都會有一個自然數 $N\in \mathbb {N}$ ，使到任何一個 $x_{n}$ ，佢係 $n\geq N$ 符合 $|x_{n}-x|<\varepsilon$ 」

數學家會講 $(x_{n})$ 趨向（converge）一點 $x\in \mathbb {R}$ ，同埋 $x\in \mathbb {R}$ 係叫做 $(x_{n})$ 嘅極限（Limit）。

如果一串數列係有極限嘅話，我哋會話佢「趨向一點」（convergent）。有人會用 $(x_{n})\rightarrow x$ 嚟表示 $(x_{n})$ 趨向呢點 $x$ 。

如果一串數列係無極限嘅話，我哋會話佢「唔趨向一點」（divergent）。

概念

假設有一條數列 $X=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\cdots )$ 同時佢趨向呢點 $x\in \mathbb {R}$ 。你畀出一個任意嘅 $\varepsilon >0$ 。

將每一個項都減佢趨向個點， $(x_{1}-x,x_{2}-x,\cdots ,x_{n}-x,x_{n+1}-x,\cdots )$ 。

當條數列嘅第一項符合 $|x_{n}-x|<\varepsilon$ ，叫呢項做 $n$ 。咁之後呢個項之後嘅項都會符合 $|x_{i}-x|<\varepsilon$ ， $n<i,\,i\in \mathbb {N}$ 。

例子

將 $X=(2,2,2,2,2,2,\cdots )$ ，明顯地 $X$ 係趨向 $2$ 。畀一個任意嘅 $\varepsilon >0$ 。

得知 $|2-2|=0<\varepsilon$ 。因此， $X$ 由第一項就符合定義性質。

性質

唯一性

一串實數（ $\mathbb {R}$ ）數列 $X=(x_{n})$ 只可以有一點極限。

證明：

假設 $x,x'$ 都係 $(x_{n})$ 嘅極限。

根據定義，揀任何一個 $\varepsilon >0$ ，都會有

$\exists \,N\in \mathbb {N}$ ，使到任何一個 $x_{n}$ 佢係 $n\geq N$ ，符合 $|x_{n}-x|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ ；

$\exists \,N'\in \mathbb {N}$ ，使到任何一個 $x_{n}$ 佢係 $n\geq N'$ ，符合 $|x_{n}-x'|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ 。

揀一個大啲嘅 $N'':=sup\{N,N'\}$ ，使到 $n\geq N''$ ，

利用三角形不等式，得知

${\begin{aligned}|x-x'|&=|x-x'+x_{n}-x_{n}|\\&<|x_{n}-x'|+|x_{n}-x|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}\\&<\varepsilon \end{aligned}}$

因為 $\varepsilon >0$ 係自己揀嘅，任何一個都得，所以推論到 $x-x'=0\implies x=x'$ 。

綁定定義

假設有一串實數（ $\mathbb {R}$ ）數列 $X=(x_{n})$ 。如果有一個實數 $M>0$ ，令到任何一個 $n\in \mathbb {N}$ 符合 $|x_{n}|\leq M$ 。咁樣我哋會話 $(x_{n})$ 係被「有界」（Bounded）。

有界性質

任何一申會趨向一點嘅數列都係被有界。

證明：

假設 $(x_{n})$ 係趨向一點 $x\in \mathbb {R}$ ，即係 $\lim(x_{n})=x$ 。

將 $\varepsilon :=1$ ，根據定義，一定會一個 $N\in \mathbb {N}$ ，令到所有 $x_{n}\geq N$ 符合 $|x_{n}-x|<1$ 。

利用三角形不等式，得知

${\begin{aligned}|x_{n}|-|x|&\leq |x_{n}-x|\\|x_{n}|-|x|&<1\\|x_{n}|&<1+|x|\end{aligned}}$

將 $M:=sup\{|x_{1}|,|x_{2}|,\cdots ,|x_{N-1}|,1+|x|\}$ 。咁樣 $M$ 就會係呢串數列入面最大嗰個數字，因為第 $N$ 嘅項會細過 $1+|x|$ ，之後喺第 $N-1$ 項同之前嘅加埋 $1+|x|$ 入面揀個最大嘅，叫佢做 $M$ 。

咁樣呢串數就一定會細過 $M$ ，即係 $|x_{n}|\leq M$ 。

排序性質

如果 $(x_{n})$ 同 $(y_{n})$ 係各自趨向一點，以下三個特性係啱嘅：

$x_{n}\geq 0,\,\forall n\in \mathbb {N}$ ，咁樣 $x=\lim x_{n}\geq 0$ 。
$x_{n}\leq y_{n},\,\forall n\in \mathbb {N}$ ，咁樣 $\lim x_{n}\leq \lim y_{n}$ 。
$a\leq x_{n}\leq b,\,\forall n\in \mathbb {N}$ ，咁樣 $a\leq \lim x_{n}\leq b$ 。

證明：

（第一點） 假設第一點嘅結論唔成立，即係話 $x_{n}$ 趨向嗰點 $x<0$ 。

揀 $\varepsilon :=-x$ ，注意呢個 $-x$ 係正數。

因為 $(x_{n})$ 係趨向一點，所以一定會有一個 $N\in \mathbb {N}$ ，令到任何第 $n\geq K$ 符合，

$x-\varepsilon <x_{n}<x+\varepsilon$ 。

淨係睇第 $n=K$ 項，得知 $x_{K}<x+\varepsilon =x+(-x)=0$ 。

因為假設咗第一點係唔成立，所以 $x\geq 0$ 。

（第二點） 假設 $(z_{n}):=(y_{n})-(x_{n})$ 同時假設任何一項 $z_{n}\geq 0$ 。

求 $\lim z_{n}$ ；

因為極限計算性質，得知 $\lim z_{n}=\lim y_{n}-\lim x_{n}$ 。

因為第一點得知， $\lim z_{n}=\lim y_{n}-\lim x_{n}\geq 0$ 。

因此， $\lim y_{n}\geq \lim x_{n}$ 。

（第三點） 假設 $y_{n}=(b,b,b,b,\cdots )$ ，利用上者得出 $b\geq \lim x_{n}$ 。

將 $y_{n}=x_{n}$ 同時將 $x_{n}=(a,a,a,a,\cdots )$ ，利用上者得出 $\lim x_{n}\geq a$ 。

合併上面兩條式， $b\geq \lim x_{n}\geq a$ 。

極限計算

假設有兩串趨向一點嘅數列 $(x_{n})\rightarrow x$ 同 $(y_{n})\rightarrow y$ 。假設有一點 $c\in \mathbb {R}$ 。咁以下嘅式就會成立：

$\lim _{n\rightarrow \infty }(x_{n}+y_{n})=x+y$
$\lim _{n\rightarrow \infty }(x_{n}-y_{n})=x-y$
$\lim _{n\rightarrow \infty }(x_{n}y_{n})=xy$

再假設有串趨向一點嘅數列 $(z_{n})\rightarrow z$ ，而 $z\neq 0$ 。咁樣

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {x_{n}}{z_{n}}}={\frac {x}{z}}$

證明：

（第一同第二點）假設有兩串趨向一點嘅數列 $(x_{n})\rightarrow x$ 同 $(y_{n})\rightarrow y$ 。根據定義得出，揀任何一個 $\varepsilon >0$ ，都會有

$\exists \,N'\in \mathbb {N}$ ，使到任何一個 $x_{n}$ 佢係 $n\geq N'$ ，符合 $|x_{n}-x|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ ；

$\exists \,N''\in \mathbb {N}$ ，使到任何一個 $y_{n}$ 佢係 $n\geq N''$ ，符合 $|y_{n}-y'|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ 。

揀一個大啲嘅 $N:=\sup\{N',N''\}$ ，使到 $n\geq N$ ，

利用三角形不等式，得知

${\begin{aligned}|(x_{n}+y_{n})-(x+y)|&=|(x_{n}-x)+(y_{n}-y)|\\&<|x_{n}-x|+|y_{n}-y|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}\\&<\varepsilon \end{aligned}}$

${\begin{aligned}|(x_{n}-y_{n})-(x-y)|&=|(x_{n}-x)-(y_{n}-y)|\\&<|x_{n}-x|+|-(y_{n}-y)|\\&<|x_{n}-x|+|(y_{n}-y)|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}\\&<\varepsilon \end{aligned}}$

（第三點） 因為綁定性質，所以得知有一個 $M_{x}\geq 0$ ，令到任何一個 $n\in \mathbb {N}$ 符合 $|x_{n}|\leq M_{x}$ 。

定義 $M:=\sup\{M_{x},|y|\}$ ，根據定義得出，揀任何一個 $\varepsilon >0$ ，都會有

$\exists \,N'\in \mathbb {N}$ ，使到任何一個 $x_{n}$ 佢係 $n\geq N'$ ，符合 $|x_{n}-x|<{\frac {\varepsilon }{2M}}$ ；

$\exists \,N''\in \mathbb {N}$ ，使到任何一個 $y_{n}$ 佢係 $n\geq N''$ ，符合 $|y_{n}-y'|<{\frac {\varepsilon }{2M}}$ 。

再揀一個大啲嘅 $N:=\sup\{N',N''\}$ ，使到 $n\geq N$ ，

${\begin{aligned}|(x_{n}y_{n})-(xy)|&=|x_{n}y_{n}-xy+x_{n}y-x_{n}y|\\&<|x_{n}(y_{n}-y)+y(x_{n}-x)|\\&<|x_{n}||y_{n}-y|+|y||x_{n}-x|\\&<M({\frac {\varepsilon }{2M}})+M({\frac {\varepsilon }{2M}})\\&<\varepsilon \end{aligned}}$

（第四點） $\vdash :$ 如果 $(z_{n})\rightarrow z$ ，咁樣 $\lim {\frac {1}{z_{n}}}={\frac {1}{z}}$ 。如果證明到呢個係啱嘅話，利用上面就可以證明到 $\lim {\frac {x_{n}}{z_{n}}}={\frac {x_{n}}{z}}$ 。

將 $\varepsilon :={\frac {1}{2}}|z|$ ，根據定義，一定會一個 $N_{1}\in \mathbb {N}$ ，令到所有 $z_{n}\geq N_{1}$ 符合 $|z_{n}-z|<{\frac {1}{2}}|z|$ 。再利用三角形不等式，

${\begin{aligned}|z_{n}-z|&<{\frac {1}{2}}|z|\\|z_{n}|-|z|&<{\frac {1}{2}}|z|\\|z_{n}|&<|z|-{\frac {1}{2}}|z|\\|z_{n}|&<{\frac {1}{2}}|z|\\\end{aligned}}$

因為 $|z_{n}|,|z|$ 都係正數，咁就得出， ${\frac {1}{|z_{n}|}}<{\frac {2}{|z|}}$ 。

將 $\varepsilon :={\frac {1}{2}}|z|^{2}\varepsilon$ ，根據定義，一定會一個 $N_{2}\in \mathbb {N}$ ，令到所有 $z_{n}\geq N_{2}$ 符合 $|z_{n}-z|<{\frac {1}{2}}|z|^{2}\varepsilon$ 。

將兩串數例合併，定義 $N:=\sup\{N_{1},N_{2}\}$ ，咁令到所有嘅 $z_{n}\geq N$ 符合

${\begin{aligned}|{\frac {1}{z_{n}}}-{\frac {1}{z}}|&=|{\frac {z-z_{n}}{zz_{n}}}|\\&=|{\frac {1}{zz_{n}}}||z-z_{n}|\\&<{\frac {1}{|z||z_{n}|}}|z-z_{n}|\\&<{\frac {2}{|z||z_{n}|}}|z-z_{n}|\\&<\varepsilon \end{aligned}}$

因此， $\lim {\frac {1}{z_{n}}}={\frac {1}{z}}$ 。

例子

計算 $\lim _{n\to \infty }{\frac {2n+1}{n}}$ 。

將 $(x_{n}):=(2)$ ， $(y_{n}):=({\frac {1}{n}})$ 。

利用加法計算， $(x_{n}+y_{n})=(2+{\frac {1}{n}})=({\frac {2n+1}{n}})$ 。

因為 $(x_{n})\rightarrow 2$ ，同埋 $(y_{n})\rightarrow 0$

因此， $\lim _{n\to \infty }{\frac {2n+1}{n}}=2$ 。

推論

由上面嘅嘢，可以推論到以下嘅嘢都係啱嘅：

$\lim(a_{n}+b_{n}+\cdots +z_{n})=\lim(a_{n})+\lim(b_{n})+\cdots +\lim(z_{n})$ 。
$\lim(a_{n}b_{n}\cdots z_{n})=\lim(a_{n})\lim(b_{n})\cdots \lim(z_{n})$ 。
$\lim(a_{n}^{k})=\lim(a_{n})^{k}$ 。

夾縫定理

假設有三串實數（ $\mathbb {R}$ ）數列， $x_{n}$ ， $y_{n}$ ， $z_{n}$ ，對應任何嘅 $n\in \mathbb {N}$ 符合 $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}$ ，同時 $\lim x_{n}=\lim z_{n}$ 嘅話， $y_{n}$ 趨向一點，而 $\lim x_{n}=\lim y_{n}=\lim z_{n}$ 。