最細公倍數

(由最小公倍數跳轉過嚟)

最細公倍數(Lowest Common Multiple,簡寫L.C.M.),又叫最小公倍數,係兩個或以上嘅整數入面嘅最細嗰個倍數。譬如1210嘅最大公因數係60。數學會用嚟表示a同b呢兩個數字嘅最細公倍數。

定義

假設有兩個整數 。最細公倍數 係一個正整數符合以下條件:

  •  同埋 
  • 如果有另一個整數 係符合 同埋 ,咁 必須符合 

最細公倍數公式

求兩個整數 嘅最細公倍數,可以利用以下公式:

 

證明:

假設 。根據GCD嘅定義, 同埋  係某啲整數。

將上面兩條式乘埋,得出

 
而家將 ,咁 。即係 又係 嘅倍數,又係 嘅倍數,咁 就係一個公倍數。

假設   是但一個公倍數。咁樣   係某啲整數。

同時  都有GCD,咁就可以用比舒公式,得出   係某啲整數。

而家要計算  ,如果除得盡嘅話, 就係最細公倍數

 
因為 係其中一個公倍數,所以一定可以被  除得盡。
 
因此 ,所以 。所以 係最細公倍數。

例子

如果要搵12345同246810既LCM。

利用輾轉相除法,得知 

所以, 

推論

假設有兩個整數 ,佢哋係相對質數,咁佢哋嘅最細公倍數就係 

證明:

利用最細公倍數公式得知, 

因為  GCD係1,所以 

睇埋