最細公倍數

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最細公倍數(Least Common Multiple,簡寫L.C.M.),又叫最小公倍數,係兩個或以上嘅整數入面嘅最細嗰個倍數。譬如1210嘅最細公倍數就係60。數學會用嚟表示a同b呢兩個數字嘅最細公倍數。

定義

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假設有兩個整數 。最細公倍數 係一個正整數符合以下條件:

  •  同埋 
  • 如果有另一個整數 係符合 同埋 ,咁 必須符合 

最細公倍數公式

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求兩個整數 嘅最細公倍數,可以利用以下公式:  

證明:

假設 。根據GCD嘅定義, 同埋  係某啲整數。

將上面兩條式乘埋,得出 而家將 ,咁 。即係 又係 嘅倍數,又係 嘅倍數,咁 就係一個公倍數。

假設   是但一個公倍數。咁樣   係某啲整數。

同時  都有GCD,咁就可以用比舒公式,得出   係某啲整數。

而家要計算  ,如果除得盡嘅話, 就係最細公倍數。 因為 係其中一個公倍數,所以一定可以被  除得盡。 因此 ,所以 。所以 係最細公倍數。

例子

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如果要搵12345同246810既LCM。

利用輾轉相除法,得知 

所以, 

推論

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假設有兩個整數 ,佢哋係相對質數,咁佢哋嘅最細公倍數就係 

證明:

利用最細公倍數公式得知, 

因為  GCD係1,所以 

睇埋

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