歐幾里得-歐拉定理

歐幾里得-歐拉定理（英文：Euclid–Euler theorem）係數論入邊嘅一個定理，顯示完美數同梅森質數之間嘅關係。個定理講話一個雙數係一個完全數若且唯若佢可以寫做$2^{p-1}(2^{p}-1)$，其中$2^{p}-1$要係質數（咁嘅樣嘅質數就係叫做梅森質數）。呢個定理以著名數學家歐幾里得同歐拉命名，佢哋分別證明咗定理「若」同「唯若」嘅部份。

6係一個完全數，對應嘅梅森質數係3

一直以嚟數學界都有個猜想，問究竟係咪有無限咁多個梅森質數，目前呢個猜想嘅答案都係未知，不過根據歐幾里得-歐拉定理，呢個猜想等價於問係咪有無限咁多個偶完全數。順帶一提，目前一個奇完全數都未搵到，但係亦都未證明到奇完全數唔存在。

定理內容同例子

完全數即係一個自然數等於佢嘅所有真因數加埋，而真因數即係唔包括自己嘅因數。例如6嘅真因數有1、2同3，而佢哋加埋又真係等於6，所以6就係一個完全數，而下一個完全數係28。

梅森質數就係一個$M_{p}=2^{p}-1$咁嘅樣嘅質數，一個咁嘅樣嘅數想係質數嘅話$p$自己首先一定要係質數，但係$p$係質數都唔保證$M_{p}$係質數。例如$M_{3}=2^{3}-1=7$係一個質數，但係$M_{11}=2^{11}-1=2047=23\times 89$就係合成數。

歐幾里得-歐拉定理話一個雙數係完全數若且唯若佢可以寫做$2^{p-1}M_{p}$，呢到$M_{p}$就係啱啱講嘅梅森質數。完全數6對應$p=2$，因為$2^{2-1}\times M_{2}=2\times 3=6$；而下一個完全數28對應嘅梅森質數就係$M_{3}=7$。

證明

歐幾里得嘅證明好短，主要建基於因數和函數$\sigma$係積性函數呢個事實，即係話若果$a$、$b$係兩個互質嘅自然數，咁就有$\sigma (ab)=\sigma (a)\sigma (b)$。要留意嘅係，因數和函數講嘅因數係包埋個數自己，所以如果要用$\sigma$函數嚟刻畫完全數嘅話，一個數係完全數若且唯若佢嘅因數和等於兩倍佢自己，即係$\sigma (n)=2n$。

充分條件

由一個梅森質數可以整一個偶完全數出嚟，呢一個方向由歐幾里得證明，只需要直接用積性函數性質就證明到：假如$2^{p}-1$係一個質數，咁$\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1)$。$2^{p-1}$嘅因數係$1,2,4,\cdots ,2^{p-1}$，加埋係一條等比級數，可以計到係$2^{p}-1$，另一邊廂，$2^{p}-1$係質數，因數得1同佢自己，所以因數和係$2^{p}$。

將以上所有嘢夾埋，就有：

$${\begin{aligned}\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))&=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1)\\&=(2^{p}-1)(2^{p})\\&=2(2^{p-1})(2^{p}-1).\end{aligned}}$$

所以$2^{p-1}(2^{p}-1)$係完全數。

必要條件

另一個方向就係要證明畀一個偶完全數，佢一定可以寫做上述嘅形式，呢個方向係由歐拉證明嘅。畀一個偶完全數，將佢所有2嘅次方抽哂出嚟，即係話將佢寫做$2^{k}x$嘅樣，$k$係正整數，$x$係單數。$2^{k}x$係完全數，所以佢嘅因數和係佢嘅兩倍：

$2^{k+1}x=\sigma (2^{k}x)=(2^{k+1}-1)\sigma (x)$

右邊嘅$2^{k+1}-1$係一個單數，起碼係3，而且能夠整除咗邊嘅$x$，所以可以設$y={\frac {x}{2^{k+1}-1}}$，係$x$嘅一個真因數。將上邊嘅式左右一齊除以$2^{k+1}-1$並考慮$x$嘅已知因數$x$同$y$，就得到：

$2^{k+1}y=\sigma (x)=x+y+{}$其他因數 $=2^{k+1}y+{}$其他因數。

呢條式想啱嘅話，就唔可以有其他因數，亦即係話$y=1$同埋$x$係$2^{k+1}-1$咁嘅樣嘅質數。

歷史

歐幾里得證明咗如果$2^{p}-1$係質數咁$2^{p-1}(2^{p}-1)$就係一個偶完全數，呢個係佢本幾何原本入邊最後一個同數論有關嘅結果，後面講嘅就同無理數、黃金比例、立體幾何有關。歐幾里得當時嘅表達係咁嘅：設有一條等比級數，起始項係1，公比係2，加埋係質數q，咁呢個和再乘級數入邊最後一個項t就係一個完美數。用呢啲符號嘅話，個和q就係梅森質數$2^{p}-1$，尾項t就係$2^{p-1}$。歐幾里得觀察到另一條等比級數，起始項係q，公比係2，長度同第一條一樣嘅話，佢同第一條係成比例嘅，由於第一條嘅和係q = 2t - 1，所以第二條嘅和係q(2t - 1)=2qt - q，咁兩條加埋就係2qt，係qt嘅兩倍。因為兩條級數無重覆數字，而且q係質數，所以其實兩條級數啱啱好列哂qt嘅所有因數，即係話qt嘅因數和係2qt，所以qt係完美數。

過咗超過一千年後，喺大約公元1000年，海什木猜想其實每一個偶完全數都可以寫做$2^{p-1}(2^{p}-1)$咁嘅樣，其$2^{p}-1$係質數，但係佢證明唔到。要去到十八世紀，亦即係歐幾里得超過二千年之後，先有歐拉證明到呢一個方向。咁就為偶完全數同梅森質數建立咗個一一對應嘅關係。歐拉完成咗呢個定理嘅證明之後，好多其他數學家都有畀出唔同嘅證明，包括Victor-Amédée Lebesgue、Robert Daniel Carmichael、Leonard Eugene Dickson、John Knopfmacher同Wayne L. McDaniel，其中Dickson嘅證明被好多教科書採用。

歐幾里得-歐拉定理喺1999年被一個網站採納為「百大數學定理」，後嚟Freek Wiedijk用呢個清單作為基礎，整咗一套用嚟測試唔同電腦輔助證明系統嘅基準。截至2021年，Wiedijk記錄嘅10個電腦輔助證明系統入邊，有5個有歐幾里得-歐拉定理嘅證明。