氣壓公式

氣壓公式係氣象學裏面用嚟計大氣壓強隨著高度變化嘅數學公式。氣壓公式有兩個版本，一個係假設成個大氣層都係恆溫嘅，另一個根據實際上溫度會隨著高度下降而定嘅。兩條公式都假設同一個高度水平個氣壓係一樣嘅。

理想情況

喺成個大氣層都係恆溫嘅假設之下，我哋可以根據大氣層嘅溫度 $T$、地面氣壓 $P_{0}$（詳見大氣壓力）、距離地面嘅高度 $z$ 同埋空氣嘅摩爾質量 $M$ 嚟計下喺唔同高度嘅大氣壓強。除咗地面氣壓同埋空氣嘅摩爾質量之外，仲有重力加速度 $g_{0}$ 同埋氣體常數 $R^{*}$ 兩個常數。

首先考慮一片薄薄嘅水平空氣包裹，佢嘅厚度係 $dz$。假設佢嘅表面面積係 $A$，密度係 $\rho$，呢個空氣包裹嘅質量就係 $\rho Adz$，而作用喺佢嘅重力就係 $\rho Ag_{0}dz$。假設空氣壓強 $P$ 一個高度嘅函數 $P(z)$，噉空氣包裹底部嘅壓強就係 $P(z)=P$，佢頂部嘅壓強就係 $P(z+dz)=P+dP$。所以，作用喺空氣包裹底部向上嘅壓力係 $P(z)A=PA$，作用喺空氣包裹頂部向下嘅壓力係 $P(z+dz)A=(P+dP)A$。因為個空氣包裹處於平衡狀態，根據牛頓第一定律，作用喺佢嘅淨力係 $0$，所以有：

${\begin{aligned}&(P+dP)A+\rho Ag_{0}dz=PA\\&PA+AdP+\rho Ag_{0}dz=PA\\&AdP+\rho Ag_{0}dz=0\\&AdP=-\rho Ag_{0}dz\\&dP=-\rho g_{0}dz\\&{\frac {\partial P}{\partial z}}=-\rho g_{0}\end{aligned}}$

呢條流體淨力平衡公式本身係一條偏微分方程，但係因為水平方向氣壓冇變化（即係 ${\frac {\partial P}{\partial x}}={\frac {\partial P}{\partial y}}=0$），所以先至可以直接當氣壓係剩係高度嘅函數，而條偏微分方程可以當係常微分方程噉做：

${\frac {dP}{dz}}=-\rho g_{0}\cdots (1)$

之後，根據理想氣體定律，我哋有：

${\begin{aligned}&PV=nR^{*}T\\&P\left({\frac {V}{n}}\right)=R^{*}T\\&P\left({\frac {\rho V}{n}}\right)=\rho R^{*}T\\&PM=\rho R^{*}T\\&\rho ={\frac {M}{R^{*}T}}P\cdots (2)\end{aligned}}$

將 $(1)$ 同 $(2)$ 合埋，變成：

${\begin{aligned}&{\frac {dP}{dz}}=-\left({\frac {M}{R^{*}T}}P\right)g_{0}\\&{\frac {dP}{dz}}=-{\frac {g_{0}M}{R^{*}T}}P\end{aligned}}$

呢條係一條可分離嘅一階微分方程。利用變量分離法可以得到：

${\begin{aligned}&{\frac {dP}{P}}=-{\frac {g_{0}M}{R^{*}T}}dz\\&\int _{P_{0}}^{P}{\frac {dP}{P}}=\int _{0}^{z}\left(-{\frac {g_{0}M}{R^{*}T}}\right)dz\\&[\ln |P|]_{P_{0}}^{P}=-{\frac {g_{0}M}{R^{*}T}}[z]_{0}^{z}\\&\ln P-\ln P_{0}=-{\frac {g_{0}M}{R^{*}T}}z\\&\ln {\frac {P}{P_{0}}}=-{\frac {g_{0}M}{R^{*}T}}z\\&{\frac {P}{P_{0}}}=e^{-{\frac {g_{0}M}{R^{*}T}}z}\\&P=P_{0}e^{-{\frac {g_{0}M}{R^{*}T}}z}\end{aligned}}$

呢條就係假設成個大氣層都係恆溫嘅氣壓公式。

實際情況

喺實際情況之下，氣溫會根據氣溫垂直遞減率 $L_{b}$ 隨著高度下降，其中 $L_{b}$ 係一個常數。假設地面嘅溫度係 $T_{0}$，噉根據氣溫垂直遞減率嘅定義，可以得到喺高度 $z$ 嘅溫度係 $T=T_{0}-L_{b}z$。所以有：

$PM=\rho R^{*}(T_{0}-L_{b}z)$

所以條公式就變成：

${\begin{aligned}&{\frac {dP}{dz}}=-{\frac {g_{0}M}{R^{*}(T_{0}-L_{b}z)}}P\\&{\frac {dP}{P}}=-{\frac {g_{0}M}{R^{*}(T_{0}-L_{b}z)}}dz\\&\int _{P_{0}}^{P}{\frac {dP}{P}}=\int _{0}^{z}\left[-{\frac {g_{0}M}{R^{*}(T_{0}-L_{b}z)}}\right]dz\\&[\ln |P|]_{P_{0}}^{P}={\frac {g_{0}M}{R^{*}}}\left[{\frac {1}{L_{b}}}\ln |T_{0}-L_{b}z|\right]_{0}^{z}\\&\ln {\frac {P}{P_{0}}}={\frac {g_{0}M}{R^{*}L_{b}}}\ln {\frac {T_{0}-L_{b}z}{T_{0}}}\\&{\frac {P}{P_{0}}}=\left({\frac {T_{0}-L_{b}z}{T_{0}}}\right)^{\frac {g_{0}M}{R^{*}L_{b}}}\\&P=P_{0}\left({\frac {T_{0}-L_{b}z}{T_{0}}}\right)^{\frac {g_{0}M}{R^{*}L_{b}}}\end{aligned}}$

呢條就係根據實際上溫度會隨著高度下降而定嘅氣壓公式。

根據參考高度而定嘅氣壓公式

除咗海平面嘅大氣壓力，我哋亦都可以用任何參考高度嚟定義氣壓公式。喺呢種情況下，當我哋對條偏微分方程進行積分嘅時候，因為個高度嘅下限係 $z_{0}$ 而唔係 $0$，所以條氣壓公式裏面所有有 $z$ 嘅地方都要由 $z-z_{0}$ 代替，即係：

$P=P_{0}e^{-{\frac {g_{0}M}{R^{*}T}}(z-z_{0})}$ （假設恆溫大氣層）

$P=P_{0}\left[{\frac {T_{0}-L_{b}(z-z_{0})}{T_{0}}}\right]^{\frac {g_{0}M}{R^{*}L_{b}}}$ （根據氣溫垂直遞減率）