微分方程

微分方程（英文：differential equation）係方程嘅一種，講未知函數同佢自己嘅導數之間關係。佢同積分方程好密切。微分方程有兩大種：一種係常微分方程，一種係偏微分方程。另外再可以根據唔同特性（例如階數同次數）嚟細分佢哋。

微分方程喺實際應用嘅範圍好廣，除咗數學之外，喺科學、工程學、經濟學等等嘅範疇亦都有廣泛嘅用途。

微分方程解法大全

變量分離法

適用喺可以分離一階一次常微分方程。假設嗰條微分方程係 $g(y){\frac {dy}{dx}}=f(x)$ 嘅樣（例如 ${\frac {dy}{dx}}={\frac {2y}{3x+1}}$），就可以將嗰條微分方程啲 $x$ 項（計埋 $dx$）同埋啲 $y$ 項（計埋 $dy$）分開擗埋兩邊，然後兩邊一齊積鬼咗佢。冇邊界條件就一齊用不定積分，有邊界條件就一齊用定積分，辟如當 $y(x_{0})=y_{0}$ 嘅時候，啲 $x$ 項嗰邊就由 $x_{0}$開始積起，啲 $y$ 項嗰邊就由 $y_{0}$開始積起，然後再將啲積咗嘅項調下位，執靚佢（顯函數就儘量寫成 $y=f(x)$ 嘅樣，隱函數就儘量寫成 $g(y)=f(x)$ 嘅樣），噉就完事。

例子

冇邊界條件

• 解 $y'-2x-1=0$

${dy \over dx}-2x-1=0$

${dy \over dx}=2x+1$

$dy=(2x+1)\ dx$

$\int dy=\int (2x+1)\ dx$

$y=x^{2}+x+C$（係二次方程）

• 解 $x+y\ y'=0$

$x+y\ {dy \over dx}=0$

$y\ {dy \over dx}=-x$

$y\ dy=-x\ dx$

$\int y\ dy=\int -x\ dx$

${1 \over 2}y^{2}=-{1 \over 2}x^{2}+C$

$y^{2}=-x^{2}+C$

$x^{2}+y^{2}=C$（係圓方程）

有邊界條件

• 解 ${\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{2}}y={\frac {3}{2}}$，其中喺 $x=0$ 嘅時候 $y=4$。

${\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{2}}y={\frac {3}{2}}$

${\frac {dy}{3-y}}={\frac {dx}{2}}$

$\int _{4}^{y}{\frac {dy}{3-y}}=\int _{0}^{x}{\frac {dx}{2}}$

$[\ln(y-3)]_{4}^{y}=[{\frac {x}{2}}]_{0}^{x}$

$\ln(y-3)-0={\frac {x}{2}}-0$

$y-3=e^{-{\frac {x}{2}}}$

$y=e^{-{\frac {x}{2}}}+3$

• 解 ${\frac {dy}{dx}}-2xy=x$，其中喺 $x=0$ 嘅時候 $y=0$。

${\frac {dy}{dx}}-2xy=x$

${\frac {dy}{dx}}=x(2y+1)$

${\frac {dy}{2y+1}}=xdx$

$\int _{0}^{y}{\frac {dy}{2y+1}}=\int _{0}^{x}{xdx}$

$[{\frac {1}{2}}\ln |2y+1|]_{0}^{y}=[{\frac {x^{2}}{2}}]_{0}^{x}$

${\frac {1}{2}}\ln |2y+1|={\frac {x^{2}}{2}}$

$2y+1=e^{x^{2}}$

$y={\frac {e^{x^{2}}}{2}}-{\frac {1}{2}}$

積分因子法

適用喺唔可以分離嘅一階常微分方程。對於個樣係 ${\frac {dy}{dx}}+p(x)y=g(x)$ 嘅微分方程，呢條方程嘅積分因子就係 $\mu (x)=e^{\int {p(x)}dx}$ （如果冇邊界條件）或者 $\mu (x)=e^{\int _{x_{0}}^{x}{p(x)}dx}$ （如果有邊界條件）。之後條方程就會變咗做一個相對容易解嘅樣：${\frac {d}{dx}}[\mu (x)y]=\mu (x)g(x)$。最後用普通嘅積分就可以解咗佢。

例子

冇邊界條件

• 解 $y'-3y=4e^{2x}$

$\mu (x)$

$=e^{\int (-3)dx}$

$=e^{-3x}$

i.e.

${\frac {d}{dx}}(e^{-3x}y)=e^{-3x}\cdot 4e^{2x}$

${\frac {d}{dx}}(e^{-3x}y)=4e^{-x}$

$\int {{\frac {d}{dx}}(e^{-3x}y)}dx=\int {4e^{-x}}dx$

$e^{-3x}y=-4e^{-x}+C$

$y=-4e^{2x}+Ce^{3x}$

有邊界條件

• 解 ${\frac {dy}{dx}}-2xy=xe^{-x^{2}}$，其中喺 $x=1$ 嘅時候 $y=0$。

$\mu (x)$

$=e^{\int _{1}^{x}(-2x)dx}$

$=e^{[-x^{2}]_{1}^{x}}$

$=e^{1-x^{2}}$

i.e.

${\frac {d}{dx}}(e^{1-x^{2}}y)=e^{1-x^{2}}\cdot xe^{-x^{2}}$

${\frac {d}{dx}}(e^{1-x^{2}}y)=xe^{1-2x^{2}}$

$\int _{1}^{x}{{\frac {d}{dx}}(e^{1-x^{2}}y)}dx=\int _{1}^{x}{xe^{1-2x^{2}}}dx$

$[e^{1-x^{2}}y]_{1}^{x}=[-{\frac {1}{4}}e^{1-2x^{2}}]_{1}^{x}$

$e^{1-x^{2}}y={\frac {1}{4}}e^{-1}-{\frac {1}{4}}e^{1-2x^{2}}$

$y={\frac {1}{4}}e^{x^{2}-2}-{\frac {1}{4}}e^{-x^{2}}$

特徵方程法

適用喺常係數嘅線性齊次微分方程，尤其喺 $2$ 階微分方程度用到。因為函數 $y=e^{rx}$ （$r$ 係任意常數） 滿足微分方程 ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=r^{n}y$，所以喺解二階一次常微分方程 $a{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=0$ 嘅時候，我哋可以假設個答案係 $y=Ce^{rx}$ 個樣 （$C$ 係任意常數），噉就可以將條微分方程變做一條二次方程 $ar^{2}+br+c=0$。解咗呢條二次方程就可以搵到條微分方程個通解，每個二次方程嘅一個解都對應住通解裏面嘅一個項。

要留意如果條二次方程有重複解，個通解裏面嘅其中一個項係 $Cxe^{rx}$，其中 $r$ 係條二次方程嘅重複根。而如果條二次方程有複數解，就利用歐拉公式將個 $r$ 裏面嘅純虛部分變做三角函數。

例子

冇邊界條件

• 解 ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-6{\frac {dy}{dx}}+8y=0$

假設個函數係 $y=Ce^{rx}$ 可以得到特徵方程：

$r^{2}-6r+8=0$

$(r-2)(r-4)=0$

$r=2$ 或者 $r=4$

將呢兩個解塞返落 $y=Ce^{rx}$ 呢個假設度，就可以得到通解係 $y=Ae^{2x}+Be^{4x}$，其中 $A$ 同 $B$ 都係任意常數。

有邊界條件

• 解 ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-2{\frac {dy}{dx}}+3y=0$，$y(0)=1$，$y'(0)=0$。

假設個函數係 $y=Ce^{rx}$ 可以得到特徵方程：

$r^{2}-2r+3=0$

$r={\frac {-(-2)\pm {\sqrt {(-2)^{2}-4(1)(3)}}}{2(1)}}$

$r=1\pm {\sqrt {2}}i$

將呢兩個解塞返落 $y=Ce^{rx}$ 呢個假設度，就可以得到通解係 $y=Ae^{(1+{\sqrt {2}}i)x}+Be^{(1-{\sqrt {2}}i)x}$，再用歐拉公式可以得到個通解係 $y=Ae^{x}(\cos {\sqrt {2}}x+i\sin {\sqrt {2}}x)+Be^{x}(\cos {\sqrt {2}}x-i\sin {\sqrt {2}}x)$。因為個函數係實函數，我哋可以直接忽略純虛部分，假設個函數係 $y=A'e^{x}\cos {\sqrt {2}}x+B'e^{x}\sin {\sqrt {2}}x$。 根據邊界條件，有：

${\begin{aligned}&1=A'e^{0}\cos {\sqrt {2}}(0)+B'e^{0}\sin {\sqrt {2}}(0)\\&0=A'e^{0}\cos {\sqrt {2}}(0)-A'e^{0}\sin {\sqrt {2}}(0)+B'e^{0}\sin {\sqrt {2}}(0)+B'e^{0}\cos {\sqrt {2}}(0)\end{aligned}}$

解方程可以得到 $A'=1$ 同埋 $B'=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$。所以個方程嘅解就係 $y=e^{x}\cos {\sqrt {2}}x-{\frac {\sqrt {2}}{2}}e^{x}\sin {\sqrt {2}}x$。

拉普拉斯變換法

適用於二階一次常微分方程，睇拉普拉斯變換。