微分方程英文differential equation)係方程嘅一種,講未知函數同佢自己嘅導數之間關係。佢同積分方程好密切。微分方程有兩大種:一種係常微分方程,一種係偏微分方程。另外再可以根據唔同特性(例如階數同次數)嚟細分佢哋。

微分方程喺實際應用嘅範圍好廣,除咗數學之外,喺科學工程學經濟學等等嘅範疇亦都有廣泛嘅用途。

微分方程解法大全

變量分離法

適用喺可以分離一階一次常微分方程。假設嗰條微分方程係   嘅樣(例如  ),就可以將嗰條微分方程啲   項(計埋  )同埋啲   項(計埋  )分開擗埋兩邊,然後兩邊一齊積鬼咗佢。冇邊界條件就一齊用不定積分,有邊界條件就一齊用定積分,辟如當   嘅時候,啲   項嗰邊就由  開始積起,啲   項嗰邊就由  開始積起,然後再將啲積咗嘅項調下位,執靚佢(顯函數就儘量寫成   嘅樣,隱函數就儘量寫成   嘅樣),噉就完事。

例子

冇邊界條件
  •  
 
 
 
 
 (係二次方程)


  •  
 
 
 
 
 
 
 (係圓方程)
有邊界條件
  •  ,其中喺   嘅時候  
 
 
 
 
 
 
 
  •  ,其中喺   嘅時候  
 
 
 
 
 
 
 
 

積分因子法

適用喺唔可以分離嘅一階常微分方程。對於個樣係   嘅微分方程,呢條方程嘅積分因子就係   (如果冇邊界條件)或者   (如果有邊界條件)。之後條方程就會變咗做一個相對容易解嘅樣: 。最後用普通嘅積分就可以解咗佢。

例子

冇邊界條件
  •  
 
 
 
i.e.
 
 
 
 
 
有邊界條件
  •  ,其中喺   嘅時候  
 
 
 
 
i.e.
 
 
 
 
 
 

特徵方程法

適用喺常係數嘅線性齊次微分方程,尤其喺   階微分方程度用到。因為函數    係任意常數) 滿足微分方程  ,所以喺解二階一次常微分方程   嘅時候,我哋可以假設個答案係   個樣 (  係任意常數),噉就可以將條微分方程變做一條二次方程  。解咗呢條二次方程就可以搵到條微分方程個通解,每個二次方程嘅一個解都對應住通解裏面嘅一個項。

要留意如果條二次方程有重複解,個通解裏面嘅其中一個項係  ,其中   係條二次方程嘅重複根。而如果條二次方程有複數解,就利用歐拉公式將個   裏面嘅純虛部分變做三角函數

例子

冇邊界條件
  •  

假設個函數係   可以得到特徵方程:

 
 
  或者  

將呢兩個解塞返落   呢個假設度,就可以得到通解係  ,其中    都係任意常數。

有邊界條件
  •    

假設個函數係   可以得到特徵方程:

 
 
 

將呢兩個解塞返落   呢個假設度,就可以得到通解係  ,再用歐拉公式可以得到個通解係  。因為個函數係實函數,我哋可以直接忽略純虛部分,假設個函數係  。 根據邊界條件,有:

 

解方程可以得到   同埋  。所以個方程嘅解就係  

拉普拉斯變換法

適用於二階一次常微分方程,睇拉普拉斯變換

[1][2]

參考