微分方程

微分方程（英文：differential equation）係方程嘅一種，講未知函數同佢自己嘅導數之間關係。佢同積分方程好密切。微分方程有兩大種：一種係常微分方程，一種係偏微分方程。另外再可以根據唔同特性（例如階數同次數）嚟細分佢哋。

微分方程喺實際應用嘅範圍好廣，除咗數學之外，喺科學、工程學、經濟學等等嘅範疇亦都有廣泛嘅用途。

微分方程解法大全改

變量分離法改

適用喺可以分離一階一次常微分方程。假設嗰條微分方程係 $g(y){\frac {dy}{dx}}=f(x)$ 嘅樣（例如 ${\frac {dy}{dx}}={\frac {2y}{3x+1}}$ ），就可以將嗰條微分方程啲 $x$ 項（計埋 $dx$ ）同埋啲 $y$ 項（計埋 $dy$ ）分開擗埋兩邊，然後兩邊一齊積鬼咗佢。冇邊界條件就一齊用不定積分，有邊界條件就一齊用定積分，辟如當 $y(x_{0})=y_{0}$ 嘅時候，啲 $x$ 項嗰邊就由 $x_{0}$ 開始積起，啲 $y$ 項嗰邊就由 $y_{0}$ 開始積起，然後再將啲積咗嘅項調下位，執靚佢（顯函數就儘量寫成 $y=f(x)$ 嘅樣，隱函數就儘量寫成 $g(y)=f(x)$ 嘅樣），噉就完事。

例子改

冇邊界條件改

解 $y'-2x-1=0$

{dy \over dx}-2x-1=0

{dy \over dx}=2x+1

dy=(2x+1)\ dx

\int dy=\int (2x+1)\ dx

y=x^{2}+x+C

（係二次方程）

解 $x+y\ y'=0$

x+y\ {dy \over dx}=0

y\ {dy \over dx}=-x

y\ dy=-x\ dx

\int y\ dy=\int -x\ dx

{1 \over 2}y^{2}=-{1 \over 2}x^{2}+C

y^{2}=-x^{2}+C

x^{2}+y^{2}=C

（係圓方程）

有邊界條件改

解 ${\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{2}}y={\frac {3}{2}}$ ，其中喺 $x=0$ 嘅時候 $y=4$ 。

{\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{2}}y={\frac {3}{2}}

{\frac {dy}{3-y}}={\frac {dx}{2}}

\int _{4}^{y}{\frac {dy}{3-y}}=\int _{0}^{x}{\frac {dx}{2}}

[\ln(y-3)]_{4}^{y}=[{\frac {x}{2}}]_{0}^{x}

\ln(y-3)-0={\frac {x}{2}}-0

y-3=e^{-{\frac {x}{2}}}

y=e^{-{\frac {x}{2}}}+3

解 ${\frac {dy}{dx}}-2xy=x$ ，其中喺 $x=0$ 嘅時候 $y=0$ 。

{\frac {dy}{dx}}-2xy=x

{\frac {dy}{dx}}=x(2y+1)

{\frac {dy}{2y+1}}=xdx

\int _{0}^{y}{\frac {dy}{2y+1}}=\int _{0}^{x}{xdx}

[{\frac {1}{2}}\ln |2y+1|]_{0}^{y}=[{\frac {x^{2}}{2}}]_{0}^{x}

{\frac {1}{2}}\ln |2y+1|={\frac {x^{2}}{2}}

2y+1=e^{x^{2}}

y={\frac {e^{x^{2}}}{2}}-{\frac {1}{2}}

積分因子法改

適用喺唔可以分離嘅一階常微分方程。對於個樣係 ${\frac {dy}{dx}}+p(x)y=g(x)$ 嘅微分方程，呢條方程嘅積分因子就係 $\mu (x)=e^{\int {p(x)}dx}$ （如果冇邊界條件）或者 $\mu (x)=e^{\int _{x_{0}}^{x}{p(x)}dx}$ （如果有邊界條件）。之後條方程就會變咗做一個相對容易解嘅樣： ${\frac {d}{dx}}[\mu (x)y]=\mu (x)g(x)$ 。最後用普通嘅積分就可以解咗佢。

例子改

冇邊界條件改

解 $y'-3y=4e^{2x}$

\mu (x)

=e^{\int (-3)dx}

=e^{-3x}

i.e.

{\frac {d}{dx}}(e^{-3x}y)=e^{-3x}\cdot 4e^{2x}

{\frac {d}{dx}}(e^{-3x}y)=4e^{-x}

\int {{\frac {d}{dx}}(e^{-3x}y)}dx=\int {4e^{-x}}dx

e^{-3x}y=-4e^{-x}+C

y=-4e^{2x}+Ce^{3x}

有邊界條件改

解 ${\frac {dy}{dx}}-2xy=xe^{-x^{2}}$ ，其中喺 $x=1$ 嘅時候 $y=0$ 。

\mu (x)

=e^{\int _{1}^{x}(-2x)dx}

=e^{[-x^{2}]_{1}^{x}}

=e^{1-x^{2}}

i.e.

{\frac {d}{dx}}(e^{1-x^{2}}y)=e^{1-x^{2}}\cdot xe^{-x^{2}}

{\frac {d}{dx}}(e^{1-x^{2}}y)=xe^{1-2x^{2}}

\int _{1}^{x}{{\frac {d}{dx}}(e^{1-x^{2}}y)}dx=\int _{1}^{x}{xe^{1-2x^{2}}}dx

[e^{1-x^{2}}y]_{1}^{x}=[-{\frac {1}{4}}e^{1-2x^{2}}]_{1}^{x}

e^{1-x^{2}}y={\frac {1}{4}}e^{-1}-{\frac {1}{4}}e^{1-2x^{2}}

y={\frac {1}{4}}e^{x^{2}-2}-{\frac {1}{4}}e^{-x^{2}}

特徵方程法改

適用喺常係數嘅線性齊次微分方程，尤其喺 $2$ 階微分方程度用到。因為函數 $y=e^{rx}$ （ $r$ 係任意常數）滿足微分方程 ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=r^{n}y$ ，所以喺解二階一次常微分方程 $a{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=0$ 嘅時候，我哋可以假設個答案係 $y=Ce^{rx}$ 個樣（ $C$ 係任意常數），噉就可以將條微分方程變做一條二次方程 $ar^{2}+br+c=0$ 。解咗呢條二次方程就可以搵到條微分方程個通解，每個二次方程嘅一個解都對應住通解裏面嘅一個項。