開主選單

勾股定理,又叫做勾股弦定理畢達哥拉斯定理(簡稱畢氏定理)、商高定理,係指直角三角形兩條直角邊長度嘅平方嘅和等於斜邊長度嘅平方,即係數式:

證明

呢個定理有好多方法去證明,方法可能係數學眾多定理中最多嘅。路明思(Elisha Scott Loomis)嘅Pythagorean Proposition一書中總共提到367種證明方式。

有人會嘗試以三角恆等式(例如:正弦餘弦函數嘅泰勒級數)嚟證明畢氏定理,但係,因為所有嘅基本三角恆等式都係建基於畢氏定理,所以唔用得(睇循環論證)。

利用相似三角形嘅證法

有好多畢氏定理嘅證明方式,都係基於相似三角形中兩邊長嘅比例

ABC為一個直角三角形,直角係角C。從點C畫上三角形嘅,並將個高同AB嘅交叉點稱之為H。呢個新三角形ACH同原本嘅三角形ABC相似,因為喺兩個三角形都有一個直角(噉亦係由於「高」嘅定義),而兩個三角形都有A呢個共同角,由此可知第三隻角都係相等嘅。同樣道理,三角形CBH同三角形ABC都係相似嘅。呢啲相似關係衍生出以下嘅比率關係:

因為

 

所以

 

可以寫成

 

綜合呢兩個方程式,可以得到

 

換句話講:

 

歐幾里得嘅證法

 
《幾何原本》入面嘅證明

歐幾里得嘅《幾何原本》一書中畀出畢氏定理嘅以下證明。設△ABC為一個直角三角形,其中A係直角。由A點劃一直線至對邊,令佢垂直於對邊。延長條線將對邊上嘅正方形一分為二,佢嘅面積分別同其餘兩個正方形相等。

喺定理嘅證明中,需要以下四個輔助定理:

  • 如果兩個三角形有兩組對應邊而呢兩組邊所夾嘅角相等,兩個三角形就係全等(SAS定理)。
  • 三角形面積係同底同高嘅平行四邊形面積嘅一半。
  • 任意一個正方形嘅面積等於佢兩邊長嘅積。
  • 任意一個矩形嘅面積等於佢兩邊長嘅積(據輔助定理3)。

證明嘅思路係:將上方嘅兩個正方形,透過等高同底嘅三角形,以佢嘅面積關係,轉換成下方兩個同等面積嘅長方形。

 
證明輔助圖2

證明如下:

  1. 設△ABC為一個直角三角形,直角係CAB。
  2. 個邊分別係BC、AB同埋CA,依次序畫成四方形CBDE、BAGF同ACIH。
  3. 畫出過點A嘅BD、CE嘅平行線。條線會分別同BC嘅DE直角喺K、L相交。
  4. 分別連接CF、AD,形成兩個三角形BCF、BDA。
  5. ∠CAB同∠BAG都係直角,因此C、A同G都係線性對應嘅,B、A同H都係一樣。
  6. ∠CBD同∠FBA都係直角,所以∠ABD等於∠FBC。
  7. 因為 AB 同 BD 分別等於 FB 同 BC,所以△ABD 一定同△FBC相等。
  8. 因為 A 、 K 同 L成同一直綫,所以四方形 BDLK 面積係△ABD兩倍。
  9. 因為C、A同G成同一直綫,所以正方形BAGF面積係△FBC兩倍。
  10. 因此四邊形 BDLK 必定有相同嘅面積 BAGF = AB²。
  11. 同埋,四邊形 CKLE 必定有相同嘅面積 ACIH = AC²。
  12. 將呢兩個結果相加,AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC
  13. 由於BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC
  14. 由於CBDE係正方形,因此AB² + AC² = BC²。

呢個證明係喺歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出嘅[1]

由於呢個定理嘅證明要靠平行公理,而且由呢個定理可以推出平行公理,好多人質疑平行公理係呢個定理嘅必要條件,一直到十九世紀嘗試否定第五公理嘅非歐幾里得幾何出現。

圖形重新排列證法

 
以面積減算法證明
 
以重新排列法證明

呢個證明咗以圖形重新排列證明。兩個大正方形嘅面積係 。將四個相等嘅三角形移除之後,左邊剩底嘅面積就係 ,右邊剩底嘅面積係 ,兩者相等。

畢氏定理嘅逆定理

畢氏定理嘅逆定理係判斷三角形做鈍角、銳角或直角嘅一個簡單嘅方法,其中AB=c係最長邊:

  • 如果 ,△ABC係直角三角形。
  • 如果 ∠C係銳角(重要再檢驗∠A同埋∠B後,先可以確認△ABC係唔係銳角三角形)。
  • 如果 ,△ABC係鈍角三角形。

逆定理嘅證明

畢氏定理嘅逆定理嘅證法數明顯少過畢氏定理嘅證法。以下係一啲常見證法。

同一法

構造 ,使 

根據畢氏定理, ,從而 (SSS)。

因此, 

餘弦定理

根據餘弦定理, 。由於 ,故 ,從而 

相似三角形

喺AB邊上截取點D令 

  中, 

從而, ,以及 

另一方面, ,故此由 知, 

因此, ,所以 

參考

  1. 《幾何原本》第1.47節(英文),歐幾里德著,2006年12月19號睇