等級線性模型

等級線性模型（英文：hierarchical linear model，HLM），又有叫多層模型（multilevel model），係一種能夠一次過計唔同層面嘅變數之間嘅關係嘅統計模型。

以下嘅內容，假設讀者已經識晒基本嘅統計學同概率論概念。

數學表述

睇埋：迴歸分析、統計相關同獨立 (概率論)

HLM 專門用嚟應付「樣本入邊啲受試者有明顯分組」嘅情況。好似簡單迴歸分析噉嘅統計模型，好多時都係假設咗啲受試者彼此之間係統計上獨立嘅，但係如果樣本入邊啲受試者有明顯分組，呢個假設就唔成立：例如想像做緊社科研究，想睇吓 500 位中學生學英文學得有幾好，班學生嚟自 5 間唔同嘅中學，一般認為嚟自同一間學校嘅學生因為喺同一環境下學習，所以佢哋喺各種特性上梗會有一定嘅統計相關，分析呢啲數據嗰陣一定要考慮埋呢一點，唔可以當同一間學校嘅學生嘅學習成效係彼此之間獨立嘅。HLM 正正就係做呢樣嘢嘅。

搵個簡單例子說明，呢種分析方法會用類似以下噉嘅數學方程式將唔同層面嘅變數擺入去同一條式入面（對於以下嗰啲行話點解，可以睇統計學）：

$Y_{ij}=\beta _{0j}+\beta _{1j}X_{ij}+\beta _{2}G_{j}+e_{ij}$

• $Y_{ij}$ 係一個喺層面 1 嘅應變數（細階 i 指個體，而細階 j 指個群體）；
• $X_{ij}$ 係一個喺層面 1 嘅自變數；
• $G_{j}$ 係一個喺層面 2（群體層面）嘅自變數，佢嘅數值對於同一個群體嘅成員嚟都係一樣嘅；
• $\beta _{0j}$ 係個根（intercept）；
• 淨低嗰啲 $\beta$ 係迴歸系數（regression coefficient），反映咗佢掕住嗰個自變數有幾能夠預測個應變數嘅數值。
• $e_{ij}$ 係指誤差。

上述呢條式講嘅用日常用語講嘅話如下：$Y_{ij}$ 嘅數值係受 $X_{ij}$ 同 $G_{j}$ 呢兩個變數嘅數值影響嘅，而如果用呢個變數嘅數值去預測 $Y_{ij}$ 嘅數值嘅話，誤差平均會係 $e_{ij}$。而家想像如果 $Y_{ij}$ 係「個別員工嘅工作表現」，$X_{ij}$ 係「嗰個員工嘅身體健康」，而 $G_{j}$ 係「嗰個員工所屬嘅團隊嘅領袖嘅領導能力」－跟手個管理學研究者就可以去收數據，再做統計分析，用啲數據估計 $\beta _{1j}$ 同 $\beta _{2}$ 嘅數值。如果啲數據反映（例如）一個員工嘅身體健康比起佢所屬嘅團隊嘅領袖嘅領導能力更加能夠預測佢嘅工作表現（即係 $\beta _{1j}$ 數值明顯大過 $\beta _{2}$）嘅話，噉佢就發現咗啲有用嘅嘢，可以將佢嘅研究結果喺管理學期刊嗰度公佈。近期啲嘅等級線性模型研究仲有喺度用更新更先進嘅統計模型。

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