質數定理

質數定理描述質數嘅大致分佈情況。

質數嘅出現規律一直困惑住數學家。一個個咁睇，質數喺正整數之中嘅出現冇咩規律。但係從總體嚟睇，質數嘅數量竟然有規可循。對正實數x，定義π(x)為唔大過x嘅質數數量。數學家揾到咗一啲函數嚟估計π(x)嘅增長。以下係第一個咁樣嘅估計。

$\pi (x)\approx {\frac {x}{\ln \,x}}$

其中ln x係x嘅自然對數。上式嘅意思係當x趨近∞，π(x)同x/ln x嘅比值趨近1。但係咁樣唔表示佢哋嘅數值隨住x增大而接近。

π(x)、x/ln x、li(x)嘅值

對數積分

下面係對π(x)更好嘅估計：

$\pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(xe^{-{\frac {1}{15}}{\sqrt {\ln \,x}}}\right)$，當x 趨近∞。

其中${\rm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln \,t}}$（對數積分），而關係式右邊第二項係誤差估計，睇大O符號。

下面呢個表比較咗π(x)，x/ln x同Li(x)嘅大細：

x	$\pi (x)$	$\pi (x)-{\frac {x}{\ln x}}$	$\pi (x){\Big /}{\frac {x}{\ln x}}$	$\operatorname {Li} (x)-\pi (x)$	${\frac {x}{\pi (x)}}$
10	4	−0.3	0.921	2.2	2.500
102	25	3.3	1.151	5.1	4.000
103	168	23	1.161	10	5.952
104	1,229	143	1.132	17	8.137
105	9,592	906	1.104	38	10.425
106	78,498	6,116	1.084	130	12.740
107	664,579	44,158	1.071	339	15.047
108	5,761,455	332,774	1.061	754	17.357
109	50,847,534	2,592,592	1.054	1,701	19.667
1010	455,052,511	20,758,029	1.048	3,104	21.975
1011	4,118,054,813	169,923,159	1.043	11,588	24.283
1012	37,607,912,018	1,416,705,193	1.039	38,263	26.590
1013	346,065,536,839	11,992,858,452	1.034	108,971	28.896
1014	3,204,941,750,802	102,838,308,636	1.033	314,890	31.202
1015	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1.031	1,052,619	33.507
1016	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	1.029	3,214,632	35.812
1017	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,281	1.027	7,956,589	38.116
1018	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	1.025	21,949,555	40.420
1019	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,960	1.024	99,877,775	42.725
1020	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,701	1.023	222,744,644	45.028
1021	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	1.022	597,394,254	47.332
1022	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1.021	1,932,355,208	49.636
1023	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	1.020	7,250,186,216	51.939
1024	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	1.019	17,146,907,278	54.243
1025	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	1.018	55,160,980,939	56.546
OEIS	A006880	A057835		A057752

質數定理可以畀出第n個質數p（n）嘅漸近估計：

$p(n)\sim n\ln \,n.$

佢亦都畀出咗從整數中抽到質數嘅概率。從不大於n嘅自然數入面隨機揀一個，佢係質數嘅概率大約係1/ln n。

呢個定理嘅式子喺1798年由法國數學家勒讓德提出。1896年法國數學家雅克·阿達馬同比利時數學家Charles Jean de la Vallée-Poussin先後獨立畀出證明。證明用到咗複分析，尤其係黎曼ζ函數。

因為黎曼ζ函數同π(x)關係密切，所以關於黎曼ζ函數嘅黎曼猜想對數論好重要。一旦猜想獲證，就可以大大咁改進素數定理誤差嘅估計。1901年瑞典數學家Helge von Koch證明出，假設黎曼猜想成立，以上關係式誤差項嘅估計可以改進為

$\pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left({\sqrt {x}}\ln \,x\right)$

至於大O項嘅常數就重未揾到。

初等證明

質數定理有啲初等證明只需用數論嘅方法。第一個初等證明喺1949年由匈牙利數學家保羅·愛多士同挪威數學家阿特利·西爾伯格合作得出。

呢個證明發表之前，有啲數學家唔相信可以揾出唔需要借助艱深數學嘅初等證明。譬如英國數學家哈代就話過：質數定理必須用複分析嚟證明，顯出定理結果嘅「深度」。佢認為淨用實數唔足以解決某啲問題，必須引入複數嚟解決。呢句話係憑感覺講出嚟嘅，覺得有啲方法比起第啲更加高等、犀利，而質數定理嘅初等證明動搖咗呢種論調。Selberg－艾狄胥嘅證明啱好表示，睇似初等嘅組合數學，威力都可以好大。

但係，雖然呢個初等證明淨用到初等嘅辦法，但係佢嘅難度甚至大過用到複分析嘅證明好多。