關係 (數學)

數學上，集$X_{1},X_{2},\cdots X_{n}$之間嘅一個n 元關係，係佢哋嘅笛卡兒積（直積）$X_{1}\times X_{2}\times \cdots X_{n}$嘅一子集。

如果X₁=X₂=...=X_n=X，就可以簡單噉叫做X上嘅n元關係。

關係可以用R嚟表示，如果

$x_{1}\in X_{1},x_{2}\in X_{2},...,x_{n}\in X_{n},(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in R\subseteq X_{1}\times X_{2}\times \ldots \times X_{n}.$

就可以話，x₁, x₂, ..., x_n滿足關係R。

如果R係一個二元關係，噉x同y滿足關係R又可以寫成xRy。

如果集合R係個空集，噉關係R就叫做空關係。而呢啲集合嘅笛卡兒積，當作為一個關係嚟考慮嘅時候，就叫做全關係。

實例

二元關係

大家喺日常生活中最經常遇到嘅關係就係大小關係。另外，整除亦都係一種常見嘅二元關係。

假設A={1,3,5}，B={2,3,4}，噉就會有A×B={(1,2),(1,3),(1,4),(3,2),(3,3),(3,4),(5,2),(5,3),(5,4)}，於是：

• R₁=A×B就係A,B上嘅全關係，從A裏面隨便揀一個數x，從B裏面隨便揀一個數y，都有xR₁y；
• R₂={(3,3)}係A,B上嘅等於關係。如果x屬于A，y屬于B，噉只有當x=3而且y=3嘅時候，先至有xR₂y（即x=y）；
• R₃={(2,1),(3,1),(4,1),(4,3)}係B,A上嘅大於關係；
• R₄={(1,2),(1,3),(1,4),(3,3)}係A,B上嘅整除關係。

多元關係

多元關係相對嚟講比較少見，亦都難理解一啲，一個簡單嘅例子係：{(0,1,1),(0,2,2),(1,1,2)}係{0,1,2}上嘅一個三元關係，呢個關係嘅定義係：只有當x+y=z嘅時候，(x,y,z)滿足呢個關係。

睇埋

• 等價關係
• 序關係