0.999...

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0.999...,準確嘅寫法係0.9,有啲地區會寫做 0.(9),係指小數點後有無限咁多個「9」,一路循環落去,喺數學可以嚴謹證明佢係等於1,亦即係話,「0.999...」唔係「差唔多等於1」或者「非常接近但係又唔係真係1」,而係真正等於1,即係話「0.999...」同「1」係表示緊同一個數。呢個例子表明一個數嘅十進制表示並唔唯一。嚴格嘅數學證明需要用到數學分析。

無限循環小數

證明

豎式

減法

喺唔考慮郝氏數列情況下而直接用豎式:

1.00000…
− 0.99999…
0.00000…

得數係0.00000...,即係寫成0.0 ,意思係0嘅無限循環。

∵ 被減數同埋差都係無限循環小數,而且一直寫0,始終搵唔到最後一位寫1,若果半佬出現「1」就變成有限小數。
∴ 1.000… - 0.999… = 0.000… = 0
∴ 1 = 0.999…

因為0.999... 嘅「9」一直見唔到尾、所以噉嘅無限循環小數嘅小數點後位數係可列。由於運算結果冇「最後嘅1」,所以1同埋0.999... 之間冇值。

除法

分數

初等數學

 ,就有  ,兩式相減得到  ,即  ,所以  

極限

循環小數嘅循環節號嘅嚴格定義嚟講,0.9 =   即 0.99999... 嘅極限,係個無限項嘅等比級數,套用公式可得到個值等於 1。

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