郝氏數列(Cauchy Sequence)係一種數列,係數學分析入面係一個基礎而重要嘅概念。呢個概念可以引伸到拓樸學,同完備性

定義

假設有一條實數列 

畀任何一個 ,如果有一個自然數 ,令到數列 入面嘅第 項符合, 

咁呢條實數列 就係郝氏數列。

概念

畀咗一個 ,同時假設有一條數例, 

計每一個項減走之前嗰一個項, ,當計到第一次發現 

假設嗰兩項做  ,而 。咁佢就係一條郝氏數列。

例子

假設 ,咁 

因此,由第一項就符合呢個條件,佢就係一條郝氏數列。

郝氏要求

郝氏要求(Cauchy Convergence Criterion)係郝氏數列其中一個性質。佢指明任務一條趨向一點嘅數例都係一條郝氏數列,反之亦然。

性質一

假設實數列 係趨向一點,咁 就係郝氏數列。

證明:

假設實數列 係趨向一點 ,姐係

畀任何一個 ,佢都會有一個數 ,令到第 項符合 

 ,咁樣 都會符合 

利用三角形不等式,得知

 

因此,佢係郝氏數列。

性質二

任何一條郝氏數列都係被綁定。

證明:

假設實數列 係郝氏數列,將 ,根據定義,

佢都會有一個數 ,令到第 項符合 

利用三角形不等式,得知

 

定義 ,咁樣對應該任何既 

 

郝氏要求

一條實數列係趨向一點 (即係佢一定係)一條郝氏數列。

證明:

( ) 利用性質一。

( ) 利用性質二得知,所有郝氏數列都係被綁定。因此,可以利用保西奴-華實斯定理

可以從郝氏實數列 中,得出一條子數列 ,而且呢條子數列 趨向 呢點。

因為 係郝氏數列,利用定義得知,

畀任何一個 ,都會有一個 項符合, 

因為 趨向 呢點,利用定義得知,

畀任何一個 ,都會有一個 項符合, 

因為 ,所以同時符合郝氏數列,因此可以將 ,得出

 

計算,

 

因此佢係趨向 呢點。

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