割圓八綫
割圓八綫,割圓術之一,亦為三角學,與三角函數相關,測量所用。八綫指割圓有八段綫,為正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割、正矢、餘矢。
大明崇禎曆書,有割圓八綫表,列齊各綫數值,相當於三角函數表。而大清梅文鼎,亦寫有平三角舉要,講解三角學。
解
編輯方便講割圓八綫,一圓以橫直綫過圓心,平分為四份。一份有直角一個,圓邊就係弧。
就拎左上一角來講,即丁丙庚嘅形。圓心直角喺丁。由圓心射出一斜綫,喺乙出圓周,一直伸出。咁樣,直角就就分成兩份,以橫一邊叫正角,以直一邊叫餘角。而圓周歸正角一邊,叫正弧,即乙兩綫。餘角一邊,叫餘弧,即乙庚綫。
割圓就好似射箭咁,弓有弧,弦、以及矢。弓曲部叫弧。弦扣住弧上下,條綫好直。而矢,即係箭,係橫放,以備射向目標。射箭時張弓,扣矢拉弦,弦矢之端,就有個角,弦綫化成斜綫。
算經借為割圓之用。直綫劃過圓,叫弦,有如弓嘅弦狀。弓弦未拉時係垂直綫,甲乙綫。弓弦拉斜到圓心,就係乙丁綫。而兩丁橫綫,就矢嘅方向。割圓叫掂到圓邊嘅綫,叫切綫。
正角方向嘅弦,叫正弦,即甲乙綫。甲乙綫同丙丁綫,相交成直角。掂到圓邊丙嘅切綫,同斜綫相交喺戊,丙戊垂直綫,就叫正切。斜綫丁戊,就叫正割。甲丙綫,有如未張弓嘅矢,叫正矢。
咁樣就得出正弦、正切、正割、正矢。
而再用餘角做一次,只係橫直倒轉,亦可以得出餘弦、餘切、餘割、餘矢。
綫名 | 綫 | 正角為〇
餘角為直角 |
正角為直角
餘角為〇 |
---|---|---|---|
正弦 | 甲乙 | 〇 | 半徑 |
正切 | 丙戊 | 〇 | 同正割,無窮大 |
正割 | 丁戊 | 半徑 | 同正切,無窮大 |
正矢 | 甲丙 | 〇 | 半徑 |
餘弦 | 乙己 | 半徑 | 〇 |
餘切 | 庚辛 | 同餘割,無窮大 | 〇 |
餘割 | 丁辛 | 同餘切,無窮大 | 半徑 |
餘矢 | 己庚 | 半徑 | 〇 |
關係
編輯丙丁綫、乙丁綫、丁庚綫,皆係半徑。正矢加餘弦為半徑。正弦加餘矢為半徑。
勾股定理,餘弦之平方,加正弦之平方,等如半徑之平方。又,半徑平方,加正切平方,等如正割平方。又,半徑平方,加餘切平方,等如餘割平方。
等比三角形,丁甲乙與丁丙戊。故此得出,正弦比餘弦,等如正切比半徑。又,正弦比半徑,等如正切比正割。又,餘弦比半徑,等如半徑比正割。
而等比三方形,丁己乙與丁庚辛。又可得出,餘弦比正弦,等如餘切比半徑。又,餘弦比半徑,等如餘切比餘割。又,正弦比半徑,等如半徑比餘割。
三角函數
編輯三角函數,係以函數表形式表示。假設圓半徑為一,正角與割圓八綫長度比例。