比例

比例（粵拼：bei2 lai6）係一個數學名詞，喺唔同地方有唔同解釋。

基本含義

如果有兩個變量，其中一個始終係另外一個嘅 $k$ 倍（即係話 $k$ 係常數），而且 $k\neq 0$，噉爾兩個量就叫做成比例，而且 $k$ 叫做比例常數。

比例常數同兩個量嘅次序有關，例如圓周長同直徑成比例，比例常數係 $\pi$，而反過來直徑亦同周長成比例，比例常數係 $1/\pi$。

比例式

相關概念

表示四個量 $a,b,c,d$ 之間關係嘅等式 $a:b=c:d$ 叫比例式，其中同英文冒號一樣嘅符號叫做比號，表示除法。

比例式亦可以寫成分數嘅形式：

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

喺比例式 $a:b=c:d$ 道，$a,d$ 叫做比例外項，$b,c$ 叫做比例內項。

如果兩個比例內項相等，即係比例式係 $a:b=b:c$ 噉款，噉 $b$ 就叫做 $a$ 同 $c$ 嘅比例中項。討論等比數列問題嘅時候，經常會用到比例中項嘅概念。比例中項 $b=\pm {\sqrt {ac}}$。

例如，黃金分割比 $p\approx 0.618$ 係 $1-p$ 同 $1$ 嘅比例中項。

性質

用初等代數可以好容易證明比例式嘅一系列性質。

基本性質

1. 比例式中各項同時乘（或除）以某一非零常數，比例式仍然成立；
2. 比例外項之積等於比例內項之積

倒數

${\frac {1}{a_{1}}}:{\frac {1}{a_{2}}}:{\frac {1}{a_{3}}}:{\frac {1}{a_{4}}}\cdots :{\frac {1}{a_{n}}}=a_{2}a_{3}a_{4}\cdots a_{n}:a_{1}a_{3}a_{4}\cdots a_{n}:a_{1}a_{2}a_{3}a_{5}\cdots a_{n}:\cdots :a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n-1}$

合分比定理

如果 $a:b=c:d$，噉 $(a\pm b):b=(c\pm d):d$。上式取正號時，稱為合比定理，取負號時，稱為分比定理。

等比定理

如果 $a_{1}:b_{1}=a_{2}:b_{2}=\ldots =a_{k}:b_{k}$，而且 $b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{k}\neq 0$， 噉 $a_{1}:b_{1}=a_{2}:b_{2}=\ldots =a_{k}:b_{k}=(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{k}):(b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{k})$。爾個叫做等比定理。

正比例同反比例

上面講到嘅比例有時又叫正比例，噉係為咗同反比例區分。

正比例函數同反比例函數

函數 $y=kx(k\neq 0)$ 稱為正比例函數，爾個時候 $y$ 同 $x$ 成正比例，比例常數係 $k$。正比例函數係一次函數嘅特殊情形。正比例函數嘅圖像係一條過原點嘅直線。

函數 $y={k \over x}(k\neq 0)$ 稱為反比例函數，爾個時候 $x$ 同 $y$ 互為反比例關係，但係一般無「比例常數係幾多」嘅講法。反比例函數嘅圖像係一條兩個焦點連線（焦軸）同坐標軸成 $45^{\circ }$ 角嘅雙曲線。

當 $k=1$ 時，正比例函數同反比例函數都變成冪函數嘅特殊情形。

非正式用法

喺學術以外嘅範疇，正比同反比有時會用來分別指代正相關關係同負相關關係。所謂正相關，係指一個量大致趨勢上隨另一個量增加而增加；所謂負相關，係指一個量大致趨勢上隨另一個量增加而減少。

如果規定兩個變量都係正數（生活中用「正比」同「反比」來分別指代正相關同負相關大部分屬於爾種情形），噉數學上嘅正比例同反比例分別係正相關同負相關嘅特殊情形。但係如果無爾個限制，數學上嘅正比例亦可以係負相關，反之亦然。