商餘

商餘^[1]（Modulo），又叫同餘運算或者模數^[2]，係一範涉及整數嘅算術。一般英文係叫「mod」，中文音譯係「模」，廣東讀音係「莫」嚟表示商餘。商餘主要係一套計算餘數嘅計算系統。商餘亦係奧數入面其中一個重要嘅概念。日常生活例子有時鐘，十二小時進制同廿四小時進制都係商餘嘅例子。以現代基本數學嘅概念入手，商餘共餘係一個等價關係。進階嘅商餘學，係抽象代數同埋數論入面嘅，佢係一個喺 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ 入面嘅二元運算，更深入嘅就需要用到抽象代數入面嘅一啲概念。

基本概念同例子

商餘係有關除法嘅數學。其實計算商餘，只係運用緊餘數定理。

例一

計算 $12{\text{ mod }}5$ 。

$12{\text{ mod }}5$ 呢條式係指要搵 $12\div 5$ 得出餘數。利用餘數定理，得知 $12=5\times 2+2$ 。

因此 $12{\text{ mod }}5=2$

例二

假設而家係上晝十點，要揾七十個鐘之後，係過咗幾多日又幾多個鐘，即係要搵 $70{\text{ mod }}24$ 。利用餘數定理，得知 $70=24\times 2+22$ 。

因此， $70{\text{ mod }}24=22$ 。

因為而家係上晝十點，再加廿二個鐘，就即係 $(10+22){\text{ mod }}24=32{\text{ mod }}24=8{\text{ mod }}24$ 。

所以過咗七十個鐘之後係三日後上晝八點。

特質

商餘有一個特質，佢走出嚟嘅答案一定係介乎要除嗰個數同零之間。用數學式表達，就係 $a{\text{ mod }}b:=\{r\in \mathbb {Z} :a=bq+r\}$ ，因為餘數定理講到明 $0\leq r<b$ ，所以得出 $\{r\in \mathbb {Z} :a=bq+r\}=\{0,1,2,3,\dots ,r-1\}$ 。