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循環群基本定理(Fundamental Theorem of Cyclic Groups)係要講有幾多有限循環群同點搵佢哋。

如果嘅基數。呢條定理就會講出,如果嘅子群,咁咁樣,對應一啲,同時佢係因數。最後一部份講,有幾個子群,佢哋嘅基數係

目錄

定理

  1. 子群要求(Every subgroup of cyclic group is cyclic);
  2. 如果 ,咁 嘅子群嘅基數係 嘅因數;
  3. 對應每一個 嘅正因數  就一定會得一個子群,佢嘅基數係 ,即係 

證明:

  1. 循環群嘅子群要求。
  2. 如果 同埋  子群。用(1),得知  係最細正整數令到 成立。利用(1)嘅證明, ,可以得出 
  3.  任何一個 因數。(想證明 就係唯一一個 連基數 )利用最大公因數定理 。設  嘅子群。利用(2),   嘅因數。咁 同埋 。所以, 

例子

如果  嘅基數 。佢哋嘅子群就係:

 

推理

如果將個群設做  。就可以得出以下。

所有 嘅正因數  呢個集係 唯一一個有基數 子群。亦都係 入面嘅所有子群。

指定基數元素數量

如果  嘅正因數,咁喺一個基數係 循環群入面基數係 嘅嘢有 咁多粒。( 歐拉函數

證明:

利用基本定理(3),只會得一個子群係基數 

 

咁每粒基數係 嘅嘢就會整 出嚟。

利用最大公因數定理入面嘅推理四,如果  

所以就係 咁多粒。

睇埋