循環群基本定理

循環群基本定理（Fundamental Theorem of Cyclic Groups）係要講有幾多有限循環群同點搵佢哋。

如果 $G=\langle a\rangle$ 同 $G$ 嘅基數 $30$ 。呢條定理就會講出，如果 $H$ 係 $G$ 嘅子群，咁 $H$ 係 $\langle a^{30/k}\rangle$ 咁樣，對應一啲 $k$ ，同時佢係 $30$ 嘅因數。最後一部份講， $G$ 有幾個子群，佢哋嘅基數係 $1,2,3,5,6,10,15,30$ 。

定理

子群要求（Every subgroup of cyclic group is cyclic）；
如果 $|\langle a\rangle |=n$ ，咁 $\langle a\rangle$ 嘅子群嘅基數係 $n$ 嘅因數；
對應每一個 $n$ 嘅正因數 $k$ ， $\langle a\rangle$ 就一定會得一個子群，佢嘅基數係 $k$ ，即係 $\langle a^{\frac {n}{k}}\rangle$ 。

證明：

睇循環群嘅子群要求。
如果 $|\langle a\rangle |=n$ 同埋 $H$ 係 $\langle a\rangle$ 嘅子群。用(1)，得知 $H=\langle a^{m}\rangle$ ， $m\in \mathbb {Z}$ 係最細正整數令到 $a^{m}\in H$ 成立。利用(1)嘅證明， $e=b=a^{m}$ ，可以得出 $n=mq$ 。
設 $k$ 任何一個 $n$ 嘅因數。（想證明 $\langle a^{\frac {n}{k}}\rangle$ 就係唯一一個 $\langle a\rangle$ 連基數 $k$ ）利用最大公因數定理， $|\langle a^{\frac {n}{k}}\rangle |={\frac {n}{\gcd(n,{\frac {n}{k}})}}={\frac {n}{\frac {n}{k}}}=k$ 。設 $H$ 係 $\langle a\rangle$ 嘅子群。利用(2)， $H=\langle a^{m}\rangle$ ， $m$ 係 $n$ 嘅因數。咁 $m=\gcd(m,n)$ 同埋 $k=|a^{m}|=|a^{\gcd(n,m)}|={\frac {n}{\gcd(n,m)}}={\frac {n}{m}}$ 。所以， $m={\frac {n}{k}},H=\langle a^{\frac {n}{k}}\rangle$ 。

例子

如果 $G=\langle a\rangle$ 同 $G$ 嘅基數 $30$ 。佢哋嘅子群就係：

${\begin{aligned}\langle a\rangle &=\{e,a,a^{2},\cdots ,e^{29}\}&\quad {\text{order }}30\\\langle a^{2}\rangle &=\{e,a^{2},a^{4},\cdots ,a^{28}\}&\quad {\text{order }}15\\\langle a^{3}\rangle &=\{e,a^{3},a^{6},\cdots ,a^{27}\}&\quad {\text{order }}10\\\langle a^{5}\rangle &=\{e,a^{5},a^{10},\cdots ,a^{25}\}&\quad {\text{order }}6\\\langle a^{6}\rangle &=\{e,a^{6},a^{12},a^{18},a^{24}\}&\quad {\text{order }}5\\\langle a^{10}\rangle &=\{e,a^{10},a^{20}\}&\quad {\text{order }}3\\\langle a^{15}\rangle &=\{e,a^{15}\}&\quad {\text{order }}2\\\langle a^{30}\rangle &=\{e\}&\quad {\text{order }}1\\\end{aligned}}$