羣

  深入講羣，請睇羣論。

羣（英文：group）係數學上一種代數結構。一個羣係一個集，喺上面定義一種運算（一般叫佢做「乘法」，不過唔一定係，多數時候都唔係指四則運算嘅「乘法」），要令到集裏面任意兩個元素進行運算，結果仍然係呢個集嘅元素。羣必須符合結合性質、恆等性質同可逆性質。

定義

如果有一個叫G嘅Set，我想佢係喺一個羣，就需要有一個二元運算（Binary Operation）「•」，（多數叫佢做乘，因為係用一點嚟表示）。而Set入面嘅嘢同個運算，需要符合以下幾個條件：

• 閉合性質（Closure）：$\forall a,b\in G,a\cdot b\in G$。意思係，喺G入面求其搵兩粒嘢出嚟「乘」埋佢，「乘」完出嚟嘅嘢要係喺返$G$入面。
• 結合性質（Associative）：$\forall a,b,c\in G,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$。意思係，無論有幾多粒嘢，點樣乘都無問題，做左前面先又得，做左後面先亦得。
• 恆等性質（Identity）：$\exists {\text{ }}e\in G{\text{, such that }}\forall a\in G,a\cdot e=e\cdot a=a$。意思係，嗰堆嘢入面一定要有一粒嘢叫$e$或者叫${\underline {1}}$又或者叫identity，佢乘咩嘢都無變嘅。
• 可逆性質（Invertibility）：$\forall a\in G,\exists {\text{ }}a^{-1}{\text{ such that }}a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e$。意思係，嗰堆嘢入面，每一粒嘢，都會有對應嘅另一粒嘢，佢哋乘埋會變返做$e$。

咁如果一個set，再畀多個運算佢，又咁啱符合嗮以上條件，咁個set加埋呢個運算呢就係一個group，寫成$(G,\cdot )$。

以上並唔要求$\forall a,b\in G,a\cdot b=b\cdot a$，即係前後調位乘埋唔一定一樣。但如果呢條式都啱嘅話，咁呢個羣就叫做阿標羣（Abelian group）。

例子

整數羣

整數係第一個識得嘅羣。整數嘅集，係寫成$\mathbb {Z}$，佢入面裝住所有嘅整數，即係$\{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\dots \}$。因為羣需要一個運算，所以就畀咗個加法佢。咁就需要證明$(\mathbb {Z} ,+)$係一個羣。

1. Closure：（$\forall a,b\in G,a\cdot b\in G$）假設$\mathbb {Z}$入面其中兩個元素，叫做a同b。由於$a+b$得出嘅係整數，而$\mathbb {Z}$係包齊曬所有整數。所以$a+b\in \mathbb {Z}$。
2. Associative：（$\forall a,b,c\in G,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$）假設$\mathbb {Z}$入面揀任何三個元素，叫做a、b同埋c。做加法嗰時，做完$a+b$先再加c，同做完$b+c$之後再加a，兩個結果係一樣嘅。所以$(a+b)+c=a+(b+c)$。
3. Identity：（$\exists {\text{ }}e\in G{\text{, such that }}\forall a\in G,a\cdot e=e\cdot a=a$） 是旦搵一個元素，佢搞完（即係加）其他元素，佢都係無變嘅，咁呢個「其他元素」就係0。因為0加任何嘢，都等於無加過嘢。
4. Invertibility：（$\forall a\in G,\exists {\text{ }}a^{-1}{\text{ such that }}a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e$） 每一粒喺$\mathbb {Z}$入面嘅元素，都係有另一半，而佢同佢另一半加埋之後，會變做0。一個元素a，佢嘅另一半就係(-a)，佢哋加埋就會變做0。

幾何變換

譬如話，喺$\mathbb {R} ^{n}$上有個圖形，對呢個圖形所進行嘅平移、旋轉等變換構成一個群。

注意，呢個群嘅元素唔係數，而係變換（即係映射）；運算唔係加減法，而係映射嘅複合。群只需定義一種運算，而且唔要求交換律成立，所以佢嘅應用廣泛過其他代數結構（例如域要定義加法、乘法兩種運算）。不過亦有交換群。

常見例子

群	運算	恆等元（Identity）	樣（Form）	逆元（Inverse）	係唔係阿標
$\mathbb {Z}$	$+$	$0$	$n$	$-n$	係
$\mathbb {Q} ^{+}$	$\times$	$1$	${\frac {m}{n}}:n\neq 0$	${\frac {n}{m}}$	係
$\mathbb {Z} _{n}$	$+\mod n$	$0$	$k$	$n-k$	係
$\mathbb {R} ^{\times }$	$\times$	$1$	$x$	${\frac {1}{x}}$	係
${\textbf {GL}}(2,F)$	矩陣乘法	${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ $ad-bc\neq 0$	${\begin{bmatrix}{\frac {d}{ad-bc}}&{\frac {-b}{ad-bc}}\\{\frac {-c}{ad-bc}}&{\frac {a}{ad-bc}}\end{bmatrix}}$	唔係
$\mathbb {Z} _{n}^{\times }$	$\times \mod n$	$1$	$k:\gcd(k,n)=1$	$kx\mod n=1$嘅解	係
$\mathbb {R} ^{n}$	$+$	$(0,0,\cdots ,0)$	$(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$	$(-a_{1},-a_{2},\cdots ,-a_{n})$	係
${\textbf {SL}}(2,F)$	矩陣乘法	${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}}$	唔係
$D_{n}$	$\circ$	$R_{0}$	$R_{a'}L$	$LR_{360-a'}$	唔係

性質

由定義入面可以睇到群嘅第一個性質就係：「如果一個群符合$\forall a,b\in G,a\cdot b=b\cdot a$要求，咁樣呢個群就係阿標群。」，但係群都有其他性質：

• 用域（Field）入面非零嘅噖，加一般既乘法整成嘅群，就會係一個一般乘法嘅阿標群。
• 用環（Ring）入面嘅野，加一般加法整成嘅群，就會係一個一般加法嘅阿標群。

其他有關群入面嘅嘢嘅性質。以下都假定$G$係個群同埋$a,b,c\in G$都係$G$入面嘅嘢。

1. 如果$a\cdot b=a\cdot c$係$G$入面成立，咁$b=c$。對應既係，如果$ba=ca$，咁$b=c$。
2. 每一個$G$入面，只係得一粒$e$。
3. 每一粒$a$，佢嘅$a^{-1}$都係得一粒。
4. $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$
5. $(a^{-1})^{-1}=a$
6. 對應任何整數$m,n\in \mathbb {Z}$，$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$同$(a^{m})^{n}=a^{mn}$都會成立。

證明

證明(1)

因為$a\cdot b=a\cdot c$喺$G$入面成立，咁一定會有一個$a^{-1}$係$G$入面，咁即係

$${\begin{aligned}a\cdot b&=a\cdot c\\a^{-1}\cdot (a\cdot b)&=a^{-1}\cdot (a\cdot c)\\(a^{-1}\cdot a)\cdot b&=(a^{-1}\cdot a)\cdot c\\e\cdot b&=e\cdot c\\b&=c\end{aligned}}$$

證明(2)

假設有兩個$e,e'\in G$。

咁因為$e$係恆等，所以$e\cdot e'=e'\cdot e=e$。

而因為$e'$係恆等，所以$e'\cdot e=e\cdot e'=e'$。

由上面兩條式睇到，$e=e'$。

證明(3)

假設$a\in G$，同時有兩粒$m,m'$符合$a\cdot m=e$，$a\cdot m'=e$。

咁得出，$a\cdot m=e=a\cdot m'$。

利用(1)嘅結果，得知$m=m'$。

證明(4)

假設$a,b\in G$。

$${\begin{aligned}(ab)\cdot (ab)^{-1}&=e\\b\cdot (ab)^{-1}&=a^{-1}\\(ab)^{-1}&=a^{-1}\cdot b^{-1}\end{aligned}}$$

證明(5)

假設$a\in G$。

$${\begin{aligned}a^{-1}\cdot (a^{-1})^{-1}&=e\\(a^{-1})^{-1}&=a\\\end{aligned}}$$

有限群同基數

基數（Order）係群嘅一個概念，佢同集嘅基數（Carnality）嘅意思一樣，都係指一個群入面嘅嘢嘅數量。不過群嘅基數亦可以應用喺群入面嘅嘢度。

定義(有限群)

假設$G$係一個群。如果$G$係有限群（Finite Group or Finite Order），即係話佢入面只係得有限嘅元素（嘢）。

$G$入面嘅嘢嘅數量會叫做$G$嘅基數（Order of G），一般會用$|G|$嚟表示。

如果$G$入面嘅嘢係無限咁多，會將$G$叫做無限群（Infinite Order）。

定理

如果有$G$同$H$兩個群。將$\circ$定義為一個係$G\times H$入面嘅運算，而呢個運算係咁嘅

$$(g,h)\circ (g',h')=(g\cdot g',h\cdot h')$$

咁樣$G$就係一個群。

如果$G$同$H$都係阿標群，咁$G\times H$都係阿標群。

如果$G$同$H$都係有限群，咁$G\times H$都係，而且$|G\times H|=|G||H|$。

定義(元素基數)

設$G$係一個群，$g\in G$係$G$入面嘅一粒嘢。

如果$g$係有基數（Finite Order），即係話，對應一啲嘅正整數$k\in \mathbb {Z} ^{+}$，$g^{k}=e$。

一般，會將最細嘅正整數$n\in \mathbb {Z} ^{+}$，符合$g^{n}=e$，叫做$g$嘅基數（Order of the element $g$）。

一般會寫做，$|a|=n$，$g$嘅基數係$n$。

如果$g$係冇基數（Infinite Order），即係話，對應所有嘅正整數$k\in \mathbb {Z} ^{+}$，$g^{k}\neq e$。

性質

以下假設咗$G$係一個群，而$g$係$G$入面嘅嘢。

1. 如果$g$係冇基數，咁每一粒$g^{k}$都係唔同嘅（唔相等嘅），$k\in \mathbb {Z} ^{+}$係正數。
2. 如果$g$係有基數，而佢嘅基數係$n$，咁$g^{k}=e\iff n|k$同埋$g^{i}=g^{j}\iff i\equiv j\mod n$。
3. 如果$g$係有基數，而基數係$n=td$，咁$g^{t}$嘅基數係$d$。
4. 如果$g^{i}=g^{j},i\neq j$，咁$g$就有基數。

證明

證明(1)

利用否定證明，證明如果有$g^{k}$係相等，咁即係$g$係有基數。

假設$g^{i}=g^{j},j>i$。

${\begin{aligned}g^{i}&=g^{j}\\g^{-i}\cdot g^{i}&=g^{-i}\cdot g^{j}\\e&=g^{j-i}\end{aligned}}$

咁即係$g$係有基數。

證明(2)

假設$g$嘅基數係$n$。

因為$n|k$，所以$nt=k$。

$g^{k}=g^{nt}=(g^{n})^{t}=e^{t}=e$

上面證明咗，如果$k$係$n$嘅倍數，咁$g^{k}=e$。

利用(1)嘅證明得知，$j-i$係$n$嘅倍數。

利用同餘定義，$i\equiv j\mod n$。

證明(3)

假設$g$嘅基數係$n=td$。

${\begin{aligned}g^{n}&=e\\g^{td}&=e\\(g^{t})^{d}&=e\\(g^{t})\cdots {\text{ d times }}\cdots (g^{t})&=e\end{aligned}}$

所以$g^{t}$嘅基數係$d$。

應用

利用上面嘅概念同性質，可以證明出更多嘅定理。以下都假設$G$係一個群，$g,a,b,c$都係$G$入面嘅剐。

1. 如果$g^{2}=g$，咁$g=e$。
2. 如果$ab=e$，咁$ba=e$。
3. 如果$G$係阿標群，咁$(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$係一定成立。「$\iff$」
4. 如果$G$嘅基數係$2$，咁$G$就係一個阿標群。「即係話，$|G|=2\iff g=g^{-1}$」
5. 只會得一粒$g$係符合$agb=c$。
6. $|g|=|g^{-1}|$
7. 如果$|G|$係雙數，咁$G$入面就會有粒嘢嘅基數係$2$。

睇埋

• 子群
• 積群
• 群轉換