微分

微分（英文：differentiation，粵拼：mei4 fan1；香港俗稱「d（粵拼：di1）」），係數學嘅一種基本運算，基本上係表示一個函數嘅變化速度，或者計某一數量響某一點嘅變化率。最簡單嘅情況係響幅圖嘅一點計斜率。微分出嚟嘅結果叫做導數。呢種運算可以推廣到向量場同埋無限細嘅變換，滲透數學。

一個函數，比如 $y=f(x)$ 嘅導函數可以表達成 $y\ '$、$f'(x)$、$dy \over dx$、$df(x) \over dx$、${d \over dx}f(x)$ 等等。而二階導函數可以寫成 $f''(x)$、$d^{2}y \over dx^{2}$。$k$ 階導函數可以寫成 $f^{(k)}(x)$、$d^{k}y \over dx^{k}$。

斜率同導數

如果喺平面座標上有一個嘅直線嘅函數 $y=mx+c$，由 $(x_{1},y_{1})$ 去到 $(x_{2},y_{2})$ 之間嘅斜率 $m$ 就係：

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

所以如果有個任意函數 $y=f(x)$ ，由 $(x,f(x))$ 去到 $(x+\Delta x,f(x+\Delta x))$之間嘅斜率就係：

${\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

微分就係要搵一個函數喺某一個輸入值嘅變化速度，所以 $\Delta x$ 會趨向 $0$，噉樣就可以用極限嚟表示：

${dy \over dx}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

呢條式又叫微分第一原理。

例如想用微分第一原理搵 $y=x^{2}$ 嘅導數：

${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}2x+\Delta x\\&=2x\end{aligned}}$

由呢度可以推導到函數 $y=ax^{n}$ 嘅導數就係 ${\frac {d(ax^{n})}{dx}}=anx^{n-1}$，而 $a$ 同 $n$ 係常數。

偏微分

偏微分指多值函數（例如： $z=f(x,y)$）入面，淨係對其中一個變數（例如：$x$）進行微分，可以表達成 $\partial z \over \partial x$。

假設有一個兩個變量嘅函數 $z=x^{2}+xy+y^{2}$ 。

當 $y$ 係常數，得到 ${\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y$ 。

當 $x$ 係常數，得到 ${\frac {\partial z}{\partial y}}=2y+x$ 。

微分方程

微分方程顧名思義係有導數嘅方程，例如 ${dy \over dx}=2x+1$。微分方程要用到不定積分去解，特定樣式嘅方程有特定唔同嘅解法。

微分式

由微分第一原理仲可以推導出下面呢啲微分嘅定律。

• 如果 $y=x+c$，咁 $y$ 嘅微分${dy \over dx}=1$。

• 若果$y=ax^{n}$，${dy \over dx}=anx^{n-1}$。

• ${d \over dx}(au+bv)={d \over dx}(au)+{d \over dx}(bv)=a{du \over dx}+b{dv \over dx}$

• ${d \over dx}(uv)=u\cdot {dv \over dx}+v\cdot {du \over dx}$

• ${d \over dx}\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {v\cdot {du \over dx}-u\cdot {dv \over dx}}{v^{2}}}$

• 鏈式法則：${\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}$

• ${d \over dx}(e^{x})=e^{x}$。

• ${d \over dx}\ln(x)={1 \over x}$。

交換代數

内文：微分 (代數)

睇下

• 極限
• 數學分析
• 積分
• 微積分基本定理