微分

微分（英文：differentiation，粵拼：mei4 fan1；香港俗稱「d（粵拼：di1）」），係數學嘅一種基本運算，基本上係表示一個函數嘅變化速度，或者計某一數量響某一點嘅變化率。最簡單嘅情況係響幅圖嘅一點計斜率。微分出嚟嘅結果叫做導數。呢種運算可以推廣到向量場同埋無限細嘅變換，滲透數學。

一個函數，比如 $y=f(x)$ 嘅導函數可以表達成 $y\ '$ 、 $f'(x)$ 、 $dy \over dx$ 、 $df(x) \over dx$ 、 ${d \over dx}f(x)$ 等等。而二階導函數可以寫成 $f''(x)$ 、 $d^{2}y \over dx^{2}$ 。 $k$ 階導函數可以寫成 $f^{(k)}(x)$ 、 $d^{k}y \over dx^{k}$ 。

斜率同導數

如果喺平面座標上有一個嘅直線嘅函數 $y=mx+c$ ，由 $(x_{1},y_{1})$ 去到 $(x_{2},y_{2})$ 之間嘅斜率 $m$ 就係：

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

所以如果有個任意函數 $y=f(x)$ ，由 $(x,f(x))$ 去到 $(x+\Delta x,f(x+\Delta x))$ 之間嘅斜率就係：

${\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

微分就係要搵一個函數喺某一個輸入值嘅變化速度，所以 $\Delta x$ 會趨向 $0$ ，噉樣就可以用極限嚟表示：

${dy \over dx}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

呢條式又叫微分第一原理。

例如想用微分第一原理搵 $y=x^{2}$ 嘅導數：

${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}2x+\Delta x\\&=2x\end{aligned}}$