玫瑰 (拓撲學)

喺拓撲學入面，玫瑰（英文：Rose，又叫「bouquet of n circles」，即係 n-圓花束）係一個拓撲空間，係透過將一拃圓形黐落同一點到整成嘅。組成嘅圓形叫做「花瓣」（petals）。玫瑰喺代數拓撲入面好重要，佢同自由羣好有關係。

定義

「8字」嘅基礎羣係由a、b生成嘅自由羣

玫瑰係一拃圓嘅楔積，即係話，玫瑰可以寫做商空間 C/S，其中C係一拃圓嘅不交聯集（disjoint union），S就係每個圓抽一點出嚟。如果當玫瑰係一個胞複形（cell complex）嚟睇嘅話，佢有一個頂點（0-維複形），另外每一塊花瓣對應一條邊（1-維複形），呢點亦都令佢可以被睇做一個拓撲圖（topological graph）。

另一邊面，有n塊花瓣嘅玫瑰亦可以透過將一個圓上面嘅n個點黐埋而得到，得2塊花瓣嘅玫瑰好多時又叫做「8字形」（figure eight）。

同自由羣嘅關係

8字嘅萬有覆蓋，可以睇做a、b生成嘅自由羣嘅Cayley圖

玫瑰嘅基礎羣係一個自由羣，當中每一塊花瓣對應一個生成元，萬有覆蓋係一棵無限樹，可以睇做個自由羣嘅Cayley圖。調返轉，呢件事可以睇做自由羣嘅羣展示（group presentation）嘅展示複形（presentation complex）。

玫瑰嘅其他覆蓋對應著自由羣嘅子羣。玫瑰嘅任何覆蓋都係一個圖，對應著自由羣嘅任何子羣都係自由羣呢個事實（Nielsen-Schreier定理）。

因為玫瑰嘅萬有覆蓋係可縮嘅（contractible），所以其實玫瑰係自由羣嘅Eilenberg-MacLane空間，即係話，高維（n ≥ 2）嘅上同調羣Hⁿ(F)係平凡嘅。

其他性質

環面上面嘅8字

任何相連嘅圖都同一支玫瑰同倫，事實上，可以將一個生成樹縮埋，形成嘅商空間就係一支玫瑰。
一個圓盤整走n點（或者球面整走n + 1點）可以形變收縮（deformation retract）做一支n瓣玫瑰，每一塊花瓣圍繞著一粒整走咗嘅點。
一個環面整走一點可以形變收縮做個8字，一個虧格係g嘅曲面整走一點可以形變收縮做一支2g瓣玫瑰，可以諗做基礎多邊形嘅邊界。
亦都可以考慮無限瓣嘅玫瑰，佢嘅基礎羣係無限個生成元嘅自由羣。可數無限瓣嘅玫瑰同夏威夷耳環好似，存在住由呢支玫瑰打去夏威夷耳環嘅連續雙射，但係佢哋唔係同胚嘅（反函數唔連續），其中一個睇法係呢支玫瑰係唔緊緻嘅，但係耳環係緊緻嘅。

睇埋

參考書

Hatcher, Allen (2002), Algebraic topology, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0
Munkres, James R. (2000), Topology, Englewood Cliffs, N.J: Prentice Hall, Inc, ISBN 0-13-181629-2
Stillwell, John (1993), Classical topology and combinatorial group theory, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97970-0