拓撲學入面,玫瑰英文Rose,又叫「bouquet of n circles」,即係 n-圓花束)係一個拓撲空間,係透過將一拃圓形黐落同一點到整成嘅。組成嘅圓形叫做「花瓣」(petals)。玫瑰喺代數拓撲入面好重要,佢同自由羣好有關係。

有四瓣嘅玫瑰

定義 編輯

 
「8字」嘅基礎羣係由ab生成嘅自由羣

玫瑰係一拃圓嘅楔積,即係話,玫瑰可以寫做商空間 C/S,其中C係一拃圓嘅不交聯集(disjoint union),S就係每個圓抽一點出嚟。如果當玫瑰係一個胞複形(cell complex)嚟睇嘅話,佢有一個頂點(0-維複形),另外每一塊花瓣對應一條邊(1-維複形),呢點亦都令佢可以被睇做一個拓撲圖(topological graph)。

另一邊面,有n塊花瓣嘅玫瑰亦可以透過將一個圓上面嘅n個點黐埋而得到,得2塊花瓣嘅玫瑰好多時又叫做「8字形」(figure eight)。

同自由羣嘅關係 編輯

 
8字嘅萬有覆蓋,可以睇做ab生成嘅自由羣嘅Cayley圖

玫瑰嘅基礎羣係一個自由羣,當中每一塊花瓣對應一個生成元,萬有覆蓋係一棵無限樹,可以睇做個自由羣嘅Cayley圖。調返轉,呢件事可以睇做自由羣嘅羣展示(group presentation)嘅展示複形(presentation complex)。

玫瑰嘅其他覆蓋對應著自由羣嘅子羣。玫瑰嘅任何覆蓋都係一個,對應著自由羣嘅任何子羣都係自由羣呢個事實(Nielsen-Schreier定理)。

因為玫瑰嘅萬有覆蓋係可縮嘅(contractible),所以其實玫瑰係自由羣嘅Eilenberg-MacLane空間,即係話,高維(n ≥ 2)嘅上同調羣Hn(F)係平凡嘅。

其他性質 編輯

 
環面上面嘅8字
  • 任何相連嘅圖都同一支玫瑰同倫,事實上,可以將一個生成樹縮埋,形成嘅商空間就係一支玫瑰。
  • 一個圓盤整走n點(或者球面整走n + 1點)可以形變收縮(deformation retract)做一支n瓣玫瑰,每一塊花瓣圍繞著一粒整走咗嘅點。
  • 一個環面整走一點可以形變收縮做個8字,一個虧格係g嘅曲面整走一點可以形變收縮做一支2g瓣玫瑰,可以諗做基礎多邊形嘅邊界。
  • 亦都可以考慮無限瓣嘅玫瑰,佢嘅基礎羣係無限個生成元嘅自由羣。可數無限瓣嘅玫瑰同夏威夷耳環好似,存在住由呢支玫瑰打去夏威夷耳環嘅連續雙射,但係佢哋唔係同胚嘅(反函數唔連續),其中一個睇法係呢支玫瑰係唔緊緻嘅,但係耳環係緊緻嘅。

睇埋 編輯

參考書 編輯

  • Hatcher, Allen (2002), Algebraic topology, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0
  • Munkres, James R. (2000), Topology, Englewood Cliffs, N.J: Prentice Hall, Inc, ISBN 0-13-181629-2
  • Stillwell, John (1993), Classical topology and combinatorial group theory, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97970-0