相反環

喺代數學裡面，一個環嘅相反環係另一個環，佢有同樣嘅元素同埋加法，但係個乘法係調轉次序嚟做嘅。講清楚啲，一個環$(R,+,\cdot )$嘅相反環就係$(R,+,*)$，個乘法嘅定義係$a*b=b\cdot a$。$R$嘅相反環通常會寫做$R^{op}$，其中「op」係「opposite」嘅意思。相反環可以用嚟講雙模（bimodule），並且好容易將模嘅性質推廣去雙模，因為一個R-S-雙模正正就係一個$R\otimes _{\mathbb {Z} }S^{op}$模。相反環亦都可以用嚟講清楚「左模」（left module）同「右模」（right module）嘅定義。

么半羣、羣、環同代數都可以睇做某種單物件範疇，而相反範疇就推廣咗相反羣、相反環等等嘅概念。

例子

兩個生成元嘅自由代數

場$k$上面嘅雙生成元自由代數$k\left\langle x,y\right\rangle$上面嘅乘法係用字串連接嚟定義嘅，例如：

$(x+y)(2x+1)=2x^{2}+x+2yx+y$

噉佢嘅相反代數嘅乘法就係噉樣： ${\begin{aligned}(x+y)*(2x+1)&=(2x+1)(x+y)\\&=2x^{2}+2xy+x+y\end{aligned}}$ 兩者係有唔同嘅。

四元數代數

場$k$上面嘅四元數代數（quaternion algebra）$H(a,b)$係一個除代數，有三個生成元$i,j,k$同埋三個關係

$i^{2}=a$, $j^{2}=b$, 同 $k=ij=-ji$

所有$H(a,b)$入面嘅元素$x$都可以寫做

$x=x_{0}+x_{i}i+x_{j}j+x_{k}k$

如果用 $\cdot$ 嚟表示$H(a,b)$入面嘅乘法嘅話，個乘數表就係

$\cdot$	$i$	$j$	$k$
$i$	$a$	$k$	$aj$
$j$	$-k$	$b$	$-bi$
$k$	$-aj$	$bi$	$-ab$

噉佢嘅相反代數$H(a,b)^{op}$嘅乘數表就係

$*$	$i$	$j$	$k$
$i$	$a$	$-k$	$-aj$
$j$	$k$	$b$	$bi$
$k$	$aj$	$-bi$	$-ab$

交換環

一個交換環係同佢嘅相反環同構嘅，因為對任何兩個元素$x$同$y$，都有$x\cdot y=y\cdot x=x*y$。

性質

• 兩個環$R_{1},R_{2}$同構若且唯若佢哋分別嘅相反環同構。
• 一個環嘅相反環嘅相反環係返佢自己。
• 一個環同佢嘅相反環係反同構嘅。
• 一個環係交換環若且唯若佢嘅乘法同反乘法係一樣嘅。
• 一個環嘅左理想正正就係相反環嘅右理想。
• 除環嘅相反環都係除環。
• 一個環上面嘅左模就係相反環上面嘅右模，反之亦然。

書

• Berrick, A. J.; Keating, M. E. (2000). An Introduction to Rings and Modules With K-theory in View. Cambridge studies in advanced mathematics. 65. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63274-4.
• Nicolas, Bourbaki (1989). Algebra I. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64243-5. OCLC 18588156.

睇埋

• 相反羣
• 相反範疇