代數學裡面,一個環嘅相反環係另一個環,佢有同樣嘅元素同埋加法,但係個乘法係調轉次序嚟做嘅。講清楚啲,一個環嘅相反環就係,個乘法嘅定義係[1][2]嘅相反環通常會寫做,其中「op」係「opposite」嘅意思。相反環可以用嚟講雙模(bimodule),並且好容易將嘅性質推廣去雙模,因為一個R-S-雙模正正就係一個模。相反環亦都可以用嚟講清楚「左模」(left module)同「右模」(right module)嘅定義。

么半羣代數都可以睇做某種單物件範疇,而相反範疇就推廣咗相反羣、相反環等等嘅概念。

例子

兩個生成元嘅自由代數

 上面嘅雙生成元自由代數 上面嘅乘法係用字串連接嚟定義嘅,例如:

 

噉佢嘅相反代數嘅乘法就係噉樣:   兩者係有唔同嘅。

四元數代數

 上面嘅四元數代數(quaternion algebra)[3] 係一個除代數,有三個生成元 同埋三個關係

 ,  , 同  

所有 入面嘅元素 都可以寫做

 

如果用   嚟表示 入面嘅乘法嘅話,個乘數表就係

       
       
       
       

噉佢嘅相反代數 嘅乘數表就係

       
       
       
       

交換環

一個交換環係同佢嘅相反環同構嘅,因為對任何兩個元素  ,都有 

性質

  • 兩個環 同構若且唯若佢哋分別嘅相反環同構。
  • 一個環嘅相反環嘅相反環係返佢自己。
  • 一個環同佢嘅相反環係反同構嘅。
  • 一個環係交換環若且唯若佢嘅乘法同反乘法係一樣嘅[2]
  • 一個環嘅左理想正正就係相反環嘅右理想[4]
  • 除環嘅相反環都係除環[5]
  • 一個環上面嘅左模就係相反環上面嘅右模,反之亦然[6]

參考

  1. Berrick & Keating (2000), p. 19
  2. 2.0 2.1 Bourbaki 1989, p. 101.
  3. Milne. Class Field Theory. p. 120.
  4. Bourbaki 1989, p. 103.
  5. Bourbaki 1989, p. 114.
  6. Bourbaki 1989, p. 192.

睇埋