相反羣

喺羣論入面，相反羣嘅概念可以幫我哋由一個羣整另一個羣出嚟，可以將左羣作用同右羣作用兩個概念對調。

呢個係由一個羣打去佢嘅相反羣嘅自然變換。<g₁, g₂>即係兩個羣元素嘅有序對，* 即係群運算。

么半羣、羣、環同代數都可以當做得一個物件嘅範疇，相反範疇呢個概念推廣嗮相反羣、相反環等等嘅概念。

定義

設$(G,*)$係一個羣，$G$嘅相反羣同$(G^{op},*')$嚟表示，佢底下個集同$G$嘅一樣，羣運算就用呢條式嚟定義：$g_{1}*'g_{2}=g_{2}*g_{1}$。

如果$G$係交換嘅話，佢同相反羣$G^{op}$係一樣嘅，另外，所有羣（唔一定交換）都自然地同佢嘅相反羣同構：$\varphi :G\to G^{op}$，$\varphi (x)=x^{-1}$就係自然嘅同構。一般嚟講，任何嘅反同構$\psi :G\to G$都誘導一個同構$\psi ':G\to G^{op}$，透過呢條式$\psi '(g)=\psi (g)$，因為：

$\psi '(g*h)=\psi (g*h)=\psi (h)*\psi (g)=\psi (g){\mathbin {\ast '}}\psi (h)=\psi '(g){\mathbin {\ast '}}\psi '(h).$

羣作用

設$X$係某個範疇入面嘅一個物件，同埋$\rho :G\to \operatorname {Aut} (X)$係一個右作用，噉$\rho ^{op}:G^{op}\to \operatorname {Aut} (X)$就係一個左作用，個定義係$\rho ^{op}(g)x=x\rho (g)$，或者簡單啲，$g^{op}x=xg$。

睇埋

• 相反環
• 相反範疇

拎

• http://planetmath.org/oppositegroup