交換環抽象代數環論入面嘅一種,佢嘅乘法運算滿足到交換律。研究交換環嘅學問叫做交換代數,相反,非交換代數就係研究非交換環嘅學問。

定義同例子

定義

想知多啲:環 (代數)

一個係一個集合 R 附上兩個二元運算,通常叫做加法乘法,符號係「+」同埋「⋅」,而且佢哋要符合一啲條件:R 附上 + 要係一個阿標羣,R 附上 ⋅ 要係一個么半羣(monoid),同埋乘法對加法要滿足分配律。加法同乘法嘅單位元素分別用 0 同 1 嚟表示。

如果乘法係交換嘅話,即係話對所有嘅 a 同 b:

a ⋅ b = b ⋅ a

咁個環 R 就話係交換嘅。

例子

一個好簡單但係非常重要嘅例子係整數環  ,由於整數乘法係交換嘅,呢個係一個交換環嚟。  呢個符號係嚟自德文嘅 Zahlen (數)。

一個係一個交換環,當中   同埋所有非零元素都有乘法逆元素,所以根據定義,所有場都係環嚟。有理數實數同埋複數都係呢類嘅例子。

如果我哋已經有一個交換環 R,我哋可以喺佢之上構作多項式環 R[X] 甚至多未知數多項式環 R[X1, X2, ..., Xn],佢哋都係交換環。

如果 V 係一個拓撲空間,例如   嘅開集,V 上面嘅連續實/複函數形成一個交換環,如果 V 有可微結構或者複結構嘅話,例如 V 係一個複流形,咁 V 上面嘅可微函數或者全純函數都形成一個交換環。

除數

係一個入面,任何元素都可以做除數,相反,係環入面,除數嘅理論就有趣好多。如果一個元素有乘法逆元嘅話,咁呢個元素就叫做可逆元素。另一個概念叫做零因子,啫係話一個元素 a,存在另一個非零元素 b 令到 ab = 0。如果個環 R 係冇非零零因子嘅話,R 就係一個。如果一個元素 a 對某個正整數 n 符合 an = 0 嘅話,呢個 a 就叫做係零冪嘅。

局部化

內文:局部化 (環)

環嘅局部化係一個過程,令到某啲唔可逆嘅元素變成可逆,亦即係話,增添一啲乘法逆元入個環到。詳細啲講,如果 S 係一個乘法封閉集(啫係如果 a, b 都喺 S 入面嘅話,ab 都要係 S 入面),咁 R 對 S 嘅局部化,通常用 S-1R 嚟表示,係由

  

嘅樣嘅元素組成,當中佢哋嘅加法、乘法同等於關係同平時我哋做分數計算差唔多。事實上,有理數   其實係整數環   對非零整數嘅局部化。相似地,對任何 R 我哋都可以對非零元素 R\{0} 做局部化,得到佢嘅域中分數場 Frac(R)。