交換環抽象代數環論入面嘅一種,佢嘅乘法運算滿足到交換律。研究交換環嘅學問叫做交換代數,相反,非交換代數就係研究非交換環嘅學問。

最簡單嘅交換環例子有整數環單變數多項式環多變數多項式環同埋佢哋嘅商環,佢哋喺代數數論同埋代數幾何入面好有用。

定義同例子

定義

想知多啲:環 (代數)

一個係一個集合   附上兩個二元運算,通常叫做加法乘法,符號係「+」同埋「⋅」例如「 」、「 」咁,而且佢哋要符合一啲條件:  附上「 + 」要係一個阿貝爾羣  附上「 ⋅ 」要係一個么半羣(monoid),同埋乘法對加法要滿足分配律。加法同乘法嘅單位元素通常分別用 0 同 1 嚟表示。

如果乘法係交換嘅話,即係話對所有嘅 a 同 b:

a ⋅ b = b ⋅ a

咁個環   就話係交換嘅。

例子

一個好簡單但係非常重要嘅例子係整數環  ,由於整數乘法係交換嘅,呢個係一個交換環嚟。  呢個符號係嚟自德文嘅 Zahlen (數)[1]

一個係一個交換環,當中   同埋所有非零元素都有乘法逆元素,所以根據定義,所有場都係環嚟。有理數實數同埋複數都係呢類嘅例子。

如果我哋已經有一個交換環 R,我哋可以喺佢之上構作多項式環 R[X] 甚至多未知數多項式環 R[X1, X2, ..., Xn],佢哋都係交換環。

如果 V 係一個拓撲空間,例如   嘅開集,V 上面嘅連續實/複函數形成一個交換環,如果 V 有可微結構或者複結構嘅話,例如 V 係一個複流形,咁 V 上面嘅可微函數或者全純函數都形成一個交換環。

除數

係一個入面,任何元素都可以做除數,但係喺環入面,除數嘅理論就有趣好多,因為唔係所有元素都可以做除數。如果一個元素有乘法逆元嘅話,咁呢個元素就叫做可逆元素。另一個概念叫做零因子,啫係話一個元素 a,存在另一個非零元素 b 令到 ab = 0。如果個環 R 係冇非零零因子嘅話,R 就係一個。如果一個元素 a 對某個正整數 n 符合 an = 0 嘅話,呢個 a 就叫做係零冪嘅。

局部化

內文:局部化 (環)

環嘅局部化係一個過程,令到某啲唔可逆嘅元素變成可逆,亦即係話,增添一啲乘法逆元入個環到。詳細啲講,如果 S 係一個乘法封閉集(啫係如果  ,   都喺 S 入面嘅話,  都要喺 S 入面),咁 R 對 S 嘅局部化,通常用 S-1R 嚟表示,係由

  

嘅樣嘅元素組成,當中佢哋嘅加法、乘法同等於關係同平時我哋做分數計算差唔多。事實上,有理數   其實係整數環   對非零整數嘅局部化。相似地,對任何 R 我哋都可以對非零元素 R\{0} 做局部化,得到佢嘅域中分數場 Frac(R)。如果 S 係由一個固定元素 f 嘅所有次方組成,噉個局部化就可以寫成  ,如果 S 係一個質理想嘅補集嘅話,局部化會寫做  

參考資料

  1. zahlen德語-英語翻譯:劍橋詞典.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

書目

睇埋

  • Atiyah, Michael; Macdonald, I. G. (1969), Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publishing Co.
  • Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Commutative Noetherian and Krull rings, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155615-7
  • Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Dimension, multiplicity and homological methods, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications., Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155623-2
  • Kaplansky, Irving (1974), Commutative rings (第Revised版), University of Chicago Press, MR 0345945
  • Nagata, Masayoshi (1975) [1962], Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics,第13卷, Interscience Publishers, pp. xiii+234, ISBN 978-0-88275-228-0, MR 0155856
  • Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1958–60), Commutative Algebra I, II, University series in Higher Mathematics, Princeton, N.J.: D. van Nostrand, Inc. (Reprinted 1975-76 by Springer as volumes 28-29 of Graduate Texts in Mathematics.)