對數
對數係一種函數,佢係指數函數嘅反函數。對數係嚟自指數,指數函數嘅基本樣係,係一個正實數。咁呢個圖就會穿過,同埋x軸就係呢個圖嘅趨近線(asymptote)。因為指數函數係單對單函數,又係全射函數,所以佢就會有逆函數或者叫相反。而指數函數嘅相反就係對數,求出黎嘅方法可以參考下面。

定義 改
基本定義 改
如果利用簡介所提及嘅方法嚟搵對數,就要根據以下步驟:
- 將 :
- 將 同 交換:
- 求 :
定義對數 改
設 , 同埋 ,對數函數(logarithmic function) 符合:
「 」。
呢個函數嘅基數(base)就係 。「 」 一般會讀成「log base of 」(log 近音係「樂」)。
等價定義 改
根據以上呢個定義, , 呢兩個表達係完全一樣。
一般會將 叫做指數表示(exponential form);
另一個樣, 叫做對數表示(logarithmic form)。
例子 改
求絕對值 改
求一個對數嘅絕對值需要用到代數技巧。
例如求:
- 將求嘅數等於 :
- 利用等價定義轉返佢做指數表示:
- 解方程:
- 還原答案:
例子:
普通對數同自然對數 改
有自然指數就自然有自然對數,佢哋基本大同小異,只不過自然對數個基數係歐拉數 。而一般情況普通對數個基數就係 ,稱常用對數。
通常使用基數係 嘅情況,正常應該係要寫成 咁,但係因為成日用嘅關係,多數人都會寫成 咁,而唔寫基數就默認係 。
如果基數係歐拉數 ,正常係應該要寫成 咁,但係好多時除咗 之後都要用埋佢呢,數學家就發明咗個符號叫 ,所以所有基數係 嘅對數函數,就會寫成 。呢個就係自然對數。
畫對數 改
如果 就會得出上面呢張圖嘅樣,藍色線就係 ,將佢根據 ,黑線,做一個反射就得出綠色線 。
如果 就會得出上面呢張圖嘅樣,藍色線就係 ,將佢根據 ,黑線,做一個反射就得出綠色線 。
以下呢個表可以比較指數同對數函數嘅相似同唔同之處:
指數函數
|
對數函數
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---|---|
軸相交點係 | 軸相交點係 |
函數域(Domain)係 | 函數域(Domain)係 |
Range係 | Range係 |
趨近線係 軸 | 趨近線係 軸 |
對數應用 改
對數可以做好多現實中嘅應用,以下舉出幾個出名嘅應用:
分貝 改
分貝(decibel)係量度噪音程度嘅單位。佢係利用對數呢個概念。
分貝值喺數學上定義為:
式入面嘅 就係分貝值,單位係 dB。 就每平方米嘅聲音強度,單位係瓦特(watt)。 就係人最低可以聽到嘅噪音強度。平均嚟講,一般人最低可以聽到最低噪音係 。
黎克特制 改
計算呢個強度嘅公式係: ,
當中 係強度, 係地震震波強度, 係地震所釋出嘅能量。
pH值 改
喺化學入邊,pH值亦即係酸鹼度係用對數嚟定義嘅。
ph值公式: ,
睇埋 改
參考資料 改
- ↑ IUPAC (1997), A. D. McNaught, A. Wilkinson (編), Compendium of Chemical Terminology ("Gold Book") (第2版), Oxford: Blackwell Scientific Publications, doi:10.1351/goldbook, ISBN 978-0-9678550-9-7