一條基本嘅

對數(Logarithmic Function)係一種函數,佢係指數函數嘅逆函數,又可以叫做相反。對數係嚟自指數,指數嘅基本樣係,通常係一個實數。咁呢個圖就會穿過,同埋水平線就係呢個圖趨近線(Asymptote)。因為指數函數係單對單函數,又係全射函數,所以佢就會有逆函數或者叫相反。而指數函數嘅相反就係對數,求出黎嘅方法可以參考下面。

對數有好多唔同嘅作用,其中最常見嘅就有搵出次方,同埋做數學建模去解決現實世界嘅問題。

定義

基本定義

如果利用簡介所提及嘅方法嚟搵對數,就要根據以下步驟:

  1.   
  2.   交換: 
  3.   

定義對數

  同埋 對數函數(Logarithmic Function) 符合:

 」。

呢個函數嘅基數(Base)就係 ,一般會讀成「  base   of  」( 近音係「樂」)。

等價定義

根據以上呢個定義,  呢兩個表達係完全一樣。

一般會將 叫做指數表示(Exponential Form);

另一個樣, 叫做對數表示(Logarithmic Form)。

例子

  •  
  •  
  •  
  •  

求絕對值

求一個對數嘅絕對值需要用到代數技巧。

例如求: 

  1. 將求嘅數等於  
  2. 利用等價定義轉返佢做指數表示: 
  3. 解方程: 
  4. 還原答案: 

例子: 

 

普通對數同自然對數

內文: 自然對數

自然指數就自然有自然對數,佢哋基本大同小異,只不過自然對數個基數係歐拉數 。而一般情況普通對數個基數就係 ,稱常用對數

通常使用基數係 嘅情況,正常應該係要寫成 咁,但係因為成日用嘅關係,多數人都會寫成 咁,而唔寫基數就默認係 

如果基數係歐拉數 ,正常係應該要寫成 咁,但係好多時除咗 之後都要用埋佢呢,數學家就發明咗個符號叫 ,所以所有基數係 嘅對數函數,就會寫成 。呢個就係自然對數(Natrual Logarithm)。

畫對數

因為對數係指數逆函數,所以可以利用 反射 得出 

 
如果 

如果 就會得出上面呢張圖嘅樣,藍色線就係 ,將佢根據 ,黑線,做一個反射就得出綠色線 

 
如果 

如果 就會得出上面呢張圖嘅樣,藍色線就係 ,將佢根據 ,黑線,做一個反射就得出綠色線 

以下呢個表可以比較指數同對數函數嘅相似同唔同之處:

指數函數

 

對數函數

 

 軸相交點係   軸相交點係 
函數域(Domain)係  函數域(Domain)係 
Range係  Range係 
趨近線係  趨近線係 

對數應用

對數可以做好多現實中嘅應用,以下舉出幾個出名嘅應用:

分貝

分貝(Decibel)係量度噪音程度嘅工具。佢係利用對數呢個概念。

分貝係數學上定義為: 

式入面嘅 就係分貝,單位係  就每平方米嘅聲音強度,單位係瓦特(Watts)。 就係人最低可以聽到嘅噪音強度。平均嚟講,一般人最低可以聽到最低噪音係 

黎克特制

黎克特制(Richter Scale)係用嚟量度地震強度。

計算呢個強度嘅公式係: 

 就係強度, 就係地震震波強度, 就係地震所釋出嘅能量。

pH值

pH值都有用到對數。

ph值公式: 

 就係氫離子嘅濃度。

睇埋