對數
對數係一種函數,佢係指數函數嘅反函數。對數係嚟自指數,指數函數嘅基本樣係,係一個正實數。咁呢個圖就會穿過,同埋x軸就係呢個圖嘅趨近線(asymptote)。因為指數函數係單對單函數,又係全射函數,所以佢就會有逆函數或者叫相反。而指數函數嘅相反就係對數,求出黎嘅方法可以參考下面。
定義
編輯基本定義
編輯如果利用簡介所提及嘅方法嚟搵對數,就要根據以下步驟:
- 將 :
- 將 同 交換:
- 求 :
定義對數
編輯設 , 同埋 ,對數函數(logarithmic function) 符合:
「 」。
呢個函數嘅基數(或叫基底,英文:base)就係 。「 」 中文一般會讀成「log 底 」;英文一般會讀成「log base of 」。有啲計數機將 寫做 ,有啲寫做 。
等價定義
編輯根據以上呢個定義, , 呢兩個表達係完全一樣。
一般會將 叫做指數表示(exponential form);
另一個樣, 叫做對數表示(logarithmic form)。
例子
編輯求絕對值
編輯求一個對數嘅絕對值需要用到代數技巧。
例如求:
- 將求嘅數等於 :
- 利用等價定義轉返佢做指數表示:
- 解方程:
- 還原答案:
例子:
簡寫
編輯有自然指數就自然有自然對數,佢哋基本大同小異,只不過自然對數個基數係歐拉數 。而一般情況普通對數個基數就係 ,叫做常用對數。
通常用基數係 嘅情況,本嚟係要寫成 ,但係因為成日用嘅關係,多數人都會寫成 咁,而唔寫基數就默認係 。為咗避免誤會(例如高等數學入面嘅 好多時係以 做底),有時又會寫做 。
如果用歐拉數 做基數,本嚟係要寫成 ,因為喺數學上好多時會用到,所以數學家就發明咗個符號寫做 ,所有基數係 嘅對數,就會寫成 。呢個叫做自然對數。
喺某啲領域,成日會用到 做基數,本嚟係要寫成 ,簡化寫成 。
畫對數
編輯如果 就會得出上面呢張圖嘅樣,藍色線就係 ,將佢根據 ,黑線,做一個反射就得出綠色線 。
如果 就會得出上面呢張圖嘅樣,藍色線就係 ,將佢根據 ,黑線,做一個反射就得出綠色線 。
以下呢個表可以比較指數同對數函數嘅相似同唔同之處:
指數函數
|
對數函數
|
---|---|
軸相交點係 | 軸相交點係 |
函數域(Domain)係 | 函數域(Domain)係 |
Range係 | Range係 |
趨近線係 軸 | 趨近線係 軸 |
對數應用
編輯對數可以做好多現實中嘅應用,以下舉出幾個出名嘅應用:
分貝
編輯分貝(decibel)係量度噪音程度嘅單位。佢係利用對數呢個概念。
分貝值喺數學上定義為:
式入面嘅 就係分貝值,單位係 dB。 就每平方米嘅聲音強度,單位係瓦特(watt)。 就係人最低可以聽到嘅噪音強度。平均嚟講,一般人最低可以聽到最低噪音係 。
黎克特制
編輯計算呢個強度嘅公式係: ,
當中 係強度, 係地震震波強度, 係地震所釋出嘅能量。
pH值
編輯喺化學入邊,pH值亦即係酸鹼度係用對數嚟定義嘅。
ph值公式: ,
睇埋
編輯參考資料
編輯- ↑ IUPAC (1997), A. D. McNaught, A. Wilkinson (編), Compendium of Chemical Terminology ("Gold Book") (第2版), Oxford: Blackwell Scientific Publications, doi:10.1351/goldbook, ISBN 978-0-9678550-9-7