旗 (線性代數)

喺線性代數入面，一支旗係指一個有限維線性空間V嘅一個上升子空間序列。喺呢到「上升」係指序列入面每一個空間都係下一個嘅子空間（睇埋「過濾 (數學)」）：

$\{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{k}=V.$

佢叫做旗係因爲有個例子個樣真係好似一支旗：零點、一條線同埋一個平面分別對應住粒「的」、支棍同埋塊布。

設 $\dim V_{i}=d_{i}$嘅話咁就有

$0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\cdots <d_{k}=n,$

當中 n 係V嘅維度（假設咗係有限），所以 $k\leq n$。一支旗如果符合全部 $d_{i}=i$ 嘅話，就叫做一支完整旗，如果唔係就係唔完整旗。

畀一支完整旗，可以刪咁其中幾個子空間變成一支唔完整旗，調反轉，畀一支唔完整旗，可以插返中間啲子空間入去變成完整旗，不過有好多種唔同嘅插法。

旗嘅簽名係佢嘅維度序列$(d_{1},\ldots ,d_{k})$。

基

V嘅一個有序基叫做適應支旗，若果佢符合對每一個$0\leq i\leq k$，頭$d_{i}$支基向量都係$V_{i}$嘅基。用返線性代數入面嘅證明技巧可以證明每一支旗都有適應基。

任何一個有序基都可以整支完整旗出嚟，做法係設$V_{i}$係頭 i 支基向量嘅生成空間，例如，$\mathbb {R} ^{n}$入面嘅標準旗就係由標準基$\{e_{i}\}$誘導出來嘅，具體來講，標準旗就係以下呢個子空間序列：

$0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.$

適應基基本上係無可能唯一嘅，除非V自己係平凡空間。

喺內積空間入面嘅完整旗有幾乎唯一嘅正交基，佢唯一可以變嘅就係每支向量可以乘一個「單位」，即係長度係1嘅純量（例如1、-1、i）。呢件事用歸納法好易就證明到。

將成件事抽象化嚟講，呢個基喺唔計極大環面作用之下係唯一嘅：支旗對應住Borel羣，內積就對應個極大緊緻子羣。

穩定器

一般線性羣$GL_{n}(\mathbb {R} )$好自然咁作用喺$\mathbb {R} ^{n}$上面，喺呢個作用之下，標準旗嘅穩定器子羣就係可逆上三角形矩陣組成嘅羣。

再一般啲嚟講，一支旗嘅穩定器（對所有i 都符合$T(V_{i})<V_{i}$嘅線性映射）用矩陣嚟講（用適應基），就係所有區塊上三角形矩陣所組成嘅代數，區塊大細係$d_{i}-d_{i-1}$，下三角形矩陣或者區塊下三角形矩陣嘅行爲唔單止受支旗嘅選擇影響，仲會收到個基嘅選擇影響，上三角形矩陣就唔會。

一支完整旗嘅穩定器子羣係一般線性羣嘅一個Borel子羣，而啲唔完整旗嘅穩定器就係啲拋物子羣。

旗嘅穩定器子羣對支旗嘅適應基有個自由遞移嘅作用，所以除非個穩定器係平凡，如果唔係適應基係無可能唯一嘅，只有兩個情況穩定器會平凡：一係個向量空間V係0維嘅，二係個向量空間係$\mathbb {F} _{2}$之上一維嘅，亦即係話個向量空間係只有一個基嘅。

子空間套

喺一個無限維向量空間V入面，例如做緊泛函分析，旗嘅概念推廣咗去子空間套嘅概念。子空間套係一堆V嘅子空間，包含關係喺上面係個全序（即係入面任何兩個子空間，其中一個係另一個嘅子空間），同埋喺任意嘅交集同埋閉線性生成都係封閉嘅。睇埋套代數。

集合論嘅類比

用單元素場嘅角度嚟睇，一個集可以當做單元素場上面嘅向量空間（呢個睇法解釋咗好多Coxeter羣同代數羣之間嘅類比）。

係呢個睇法之下，一個集上面嘅排序對應住一支完整旗：例如，一支旗$\{0\}\subset \{0,1\}\subset \{0,1,2\}$對應住排序$0\leq 1\leq 2$

睇埋

• 過濾 (數學)
• 旗流形
• Grassmannian
• Matroid

參考資料

書目

• Shafarevich, I. R.; A. O. Remizov (2012). Linear Algebra and Geometry. Springer. ISBN 978-3-642-30993-9.