郝氏數列

郝氏數列（Cauchy Sequence）係一種數列，係數學分析入面係一個基礎而重要嘅概念。呢個概念可以引伸到拓樸學，同完備性。

定義

假設有一條實數列$(x_{n})$。

畀任何一個$\varepsilon >0$，如果有一個自然數$N\in \mathbb {N}$，令到數列$(x_{n})$入面嘅第$n,m>N$項符合，$|x_{n}-x_{m}|<\varepsilon$。

咁呢條實數列$(x_{n})$就係郝氏數列。

概念

畀咗一個$\varepsilon >0$，同時假設有一條數例，$X=(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots )$。

計每一個項減走之前嗰一個項，$x_{2}-x_{1},x_{3}-x_{2},\cdots$，當計到第一次發現$|x_{n}-x_{m}|<\varepsilon$。

假設嗰兩項做$m$同$n$，而$n,m>N$。咁佢就係一條郝氏數列。

例子

假設$X=(2,2,2,2,2,2,2,\cdots )$，咁$|2-2|=0<\varepsilon$。

因此，由第一項就符合呢個條件，佢就係一條郝氏數列。

郝氏要求

郝氏要求（Cauchy Convergence Criterion）係郝氏數列其中一個性質。佢指明任務一條趨向一點嘅數例都係一條郝氏數列，反之亦然。

性質一

假設實數列$(x_{n})$係趨向一點，咁$(x_{n})$就係郝氏數列。

證明：

假設實數列$(x_{n})$係趨向一點$x\in \mathbb {R}$，姐係

畀任何一個$\varepsilon >0$，佢都會有一個數$N\in \mathbb {N}$，令到第$n>N$項符合$|x_{n}-x|<{\frac {\varepsilon }{2}}$。

將$m>n$，咁樣$m>n>N$都會符合$|x_{m}-x|<{\frac {\varepsilon }{2}}$。

利用三角形不等式，得知

${\begin{aligned}|x_{m}-x_{n}|&=|x_{m}-x_{n}-x+x|\\&\leq |x_{m}-x|+|x_{n}-x|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon \end{aligned}}$

因此，佢係郝氏數列。

性質二

任何一條郝氏數列都係被綁定。

證明：

假設實數列$(x_{n})$係郝氏數列，將$\varepsilon :=1$，根據定義，

佢都會有一個數$N\in \mathbb {N}$，令到第$n\geq N$項符合$|x_{n}-x_{N}|<1$。

利用三角形不等式，得知

${\begin{aligned}|x_{n}-x_{N}|&<1\\|x_{n}|+|x_{N}|&<1\\|x_{n}|&<1+|x_{N}|\end{aligned}}$

定義$M:=\sup\{|x_{1}|,|x_{2}|,|x_{3}|,\cdot ,|x_{N-1}|,|x_{N}|+1\}$，咁樣對應該任何既$n\in \mathbb {N}$，

$|x_{n}|\leq M$。

郝氏要求

一條實數列係趨向一點$\iff$（即係佢一定係）一條郝氏數列。

證明：

($\Rightarrow$) 利用性質一。

($\Leftarrow$) 利用性質二得知，所有郝氏數列都係被綁定。因此，可以利用保西奴-華實斯定理；

可以從郝氏實數列$(x_{n})$中，得出一條子數列$(x_{n_{k}})$，而且呢條子數列$(x_{n_{k}})$趨向$x\in \mathbb {R}$呢點。

因為$(x_{n})$係郝氏數列，利用定義得知，

畀任何一個$\varepsilon >0$，都會有一個$n,m>N$項符合，$|x_{n}-x_{m}|<{\frac {\varepsilon }{2}}$。

因為$(x_{n_{k}})$趨向$x\in \mathbb {R}$呢點，利用定義得知，

畀任何一個$\varepsilon >0$，都會有一個$K>N$項符合，$|x_{K}-x|<{\frac {\varepsilon }{2}}$。

因為$K>N$，所以同時符合郝氏數列，因此可以將$m=K$，得出

$|x_{m}-x_{K}|<{\frac {\varepsilon }{2}}$。

計算，

${\begin{aligned}|x_{n}-x|&=|x_{n}-x+x_{K}-x_{K}|\\&\leq |x_{n}-x_{K}|+|x_{K}-x|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon \end{aligned}}$

因此佢係趨向$x\in \mathbb {R}$呢點。

睇埋

• 數列
• 極限
• 子數列
• 保西奴-華實斯定理