集合論 （粵拼 ：Zaap6 hap6 leon6 英國話 ：set theory），又叫集論 ，係一門研究集合 嘅數學 理論 。佢喺 1870 年代由德國 數學家康托爾 （Georg Cantor）同戴德金 （Richard Dedekind）諗出嚟，而今時今日佢成日都畀數學家 攞嚟做數學基礎 [1]
一個典型嘅温氏圖 （Venn diagram）；佢顯示咗兩個集合（set）之間嘅交集。 集合
{
1
,
3
,
5
,
7
,
9
,
…
}
{\displaystyle \{1,3,5,7,9,\ldots \}}
呢個集嘅定義 （definition）可以係「所有單數 嘅集」（the set of all odd numbers）⸺一個集可以包含任何嘢：數字、物件、或者抽象概念呀咁；一個集嘅元素 （element）可以係根據某個定義湊埋一齊嘅（好似係頭先嗰個例子咁），但係亦都可以係夾硬擺埋一齊、冇乜規律嘅。透過研究唔同集嘅數學特質，數學家發現佢哋可以精確又唔循環 （circular）咁定義數字同加減乘除呢啲基本嘅數學概念[2]
集（set）係一嚿包括一堆符合條件嘅元素嘅嘢。可以將佢諗成環保分類係既黃、藍、啡嘅桶。
元素（elements）係集入面嘅嘢，多數會叫佢做一個集入面嘅一粒嘢。用返上面既比喻，元素就係放入桶入面嘅垃圾。
黃桶入面裝嘅係鋁製品嘅，入面嘅垃圾一定係鋁製。同一道理，一個集入面嘅元素一定符合嘅條件。
常見嘅集
編輯
自然數 ：
N
:=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
…
}
{\displaystyle \mathbb {N} :=\{1,2,3,4,\ldots \}}
整數 ：
Z
:=
{
…
,
−
2
,
−
1
,
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
…
}
=
{
0
,
±
1
,
±
2
,
±
3
,
…
}
{\displaystyle \mathbb {Z} :=\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}=\{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots \}}
Z
+
:=
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
…
}
{\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}:=\{0,1,2,3,4,\ldots \}}
有理數 ：
Q
:=
{
a
b
|
a
,
b
∈
Z
∧
b
≠
0
}
{\displaystyle \mathbb {Q} :=\{{\frac {a}{b}}|a,b\in \mathbb {Z} \land b\neq 0\}}
實數 ：
R
:=
Q
∪
{
{\displaystyle \mathbb {R} :=\mathbb {Q} \cup \{}
}
{\displaystyle \}}
複數 ：
C
:=
{
a
+
b
i
|
a
,
b
∈
R
,
i
=
−
1
}
{\displaystyle \mathbb {C} :=\{a+bi|a,b\in \mathbb {R} ,i={\sqrt {-1}}\}}
一個入面無元素嘅集係叫空集 （empty set）。
空集可以想像成為一個入面無嘢嘅紙袋，咁呢個袋就係一個空袋。對應就係空集。
空集集 （set of empty set）就係一個集，入面裝住一個空嘅集，即係
{
∅
}
{\displaystyle \{\varnothing \}}
∅
∈
{
∅
}
{\displaystyle \varnothing \in \{\varnothing \}}
∅
∈
∅
{\displaystyle \varnothing \in \varnothing }
可以幻想成，一個袋入面裝住一個袋，而入面個袋係無袋任何嘢。
如果有兩個集
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
相等（equal） ，即係話兩個集都有相同嘅元素。即係話，呢兩個袋入面裝住嘅嘢係一樣。
一般會以
X
=
Y
{\displaystyle X=Y}
X
≠
Y
{\displaystyle X\neq Y}
{
5
,
6
,
7
}
=
{
7
,
5
,
6
}
{\displaystyle \{5,6,7\}=\{7,5,6\}}
{
1
,
2
,
3
}
≠
{
1
,
2
}
{\displaystyle \{1,2,3\}\neq \{1,2\}}
{
∅
}
≠
∅
{\displaystyle \{\varnothing \}\neq \varnothing }
{
{
2
}
,
4
}
≠
{
2
,
4
}
{\displaystyle \{\{2\},4\}\neq \{2,4\}}
R
≠
N
{\displaystyle \mathbb {R} \neq \mathbb {N} }
2
N
=
{
0
,
±
2
,
±
4
,
⋯
}
{\displaystyle 2\mathbb {N} =\{0,\pm 2,\pm 4,\cdots \}}
如果集
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
有限集 （finite set）。而
X
{\displaystyle X}
基數 （cardinality）。
基數一般會以
|
X
|
{\displaystyle |X|}
X
{\displaystyle X}
{
∅
,
1
,
2
}
{\displaystyle \{\varnothing ,1,2\}}
3
{\displaystyle 3}
{
∅
,
1
,
{
4
,
2
}
}
{\displaystyle \{\varnothing ,1,\{4,2\}\}}
3
{\displaystyle 3}
做數學基礎
編輯
用集合論定義自然數字
編輯
0
=
{
}
{\displaystyle 0=\{\}}
1
=
{
0
}
=
{
{
}
}
{\displaystyle 1=\{0\}=\{\{\}\}}
2
=
{
0
,
1
}
=
{
{
}
,
{
{
}
}
}
{\displaystyle 2=\{0,1\}=\{\{\},\{\{\}\}\}}
.
.
.
{\displaystyle ...}
↑ Jech, T. (2013). Set theory . Springer Science & Business Media.
↑ Roitman, J. (1990). Introduction to modern set theory (Vol. 8). John Wiley & Sons.
