商空間 (線性代數)

  呢篇文講線性代數入邊嘅商空間。想搵其他商空間嘅話，請睇商空間。

喺線性代數入面，一個向量空間$V$對佢嘅一個子空間$N$嘅商係一個新嘅向量空間，作用就好似將$N$壓做一點咁。得到嘅空間叫做商空間，寫做$V/N$，英文會讀做「V mod N」或者「V by N」。商空間喺數學入邊好重要亦都好基礎，喺幾何學入邊，睇上同調（cohomology）、譜序列（spectral sequence）等等都要用到商空間嚟定義，分析入邊嘅L^p空間都要用商空間嚟定義。

定義

呢度列出商空間喺數學上邊嚴謹嘅定義或者叫構作（construction）。設$V$係場$K$上邊嘅一個向量空間，$N$係$V$嘅一個子空間。喺$V$上邊定義一個等價關係$\sim$如下：$x\sim y$若且唯若$x-y\in N$，換句話講，若果喺 $N$ 入邊搵到支向量 $n$，令 $x+n=y$ 嘅話，$x$ 同 $y$ 就係有關係。由呢個定義睇得出 $N$ 入邊嘅所有向量都同零向量有關係，亦即係話 $N$ 入邊嘅所有向量都同 $0$ 向量喺同一個等價類。$x$對應嘅等價類通常寫做$[x]=x+N$，因為佢可以寫做$[x]=\{x+n:n\in N\}$。

商空間$V/N$集合嘅定義就係$V/\sim$，即係$\sim$呢個關係嘅等價類集合。等價類嘅純量乘法同向量加法係咁樣定義嘅：

• $\alpha [x]=[\alpha x]$，$\alpha \in K$
• $[x]+[y]=[x+y]$

好易就可以證明呢個定義係無關於所揀嘅代表，即係話呢兩個運算係良定義嘅。呢兩個運算令$V/N$成為一個向量空間，其中$N=[0]$係入邊嘅零向量。

將$v$打去等價類$[v]$嗰個映射叫商映射（quotient map）。

另一個講法係，商空間$V/N$係所有同$N$平行嘅仿射空間組成嘅集。

例子

平面（二維空間）對一維子空間$F$嘅商

設$X=\mathbb {R} ^{2}$係歐幾里得平面，$Y$係$X$入邊一條穿過原點嘅直線，咁商空間$X/Y$可以睇做$X$入邊所有同$Y$平行嘅線形成嘅空間，即係話$X/Y$入邊嘅每一粒元素都係$X$入邊同$Y$平行嘅一條直線。如果喺$X$入邊揀一條同$Y$唔平行而且穿過原點嘅直線$Z$嘅話，對$Z$入邊每一點$z$，都有一條直線穿過$z$而且同$Y$平行，呢個就畀咗一個幾何嘅方法去睇$X/Y$，我哋話$Z$參數化咗同$Y$平行嘅直線，而事實上$X/Y$係同構於$Z$（$X/Y\cong Z$）。同樣地，如果用一個三維空間對一條直線做商嘅話，都可以用一個同條直線唔平行嘅平面去代表個商空間。

推廣少少，我哋睇n-維歐幾里得空間$\mathbb {R} ^{n}$對佢頭$m$支標準基向量生成出嚟嘅子空間做嘅商（$m\leq n$），$\mathbb {R} ^{n}$由n元組實數$(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$組成，而嗰個子空間（同$\mathbb {R} ^{m}$同構）就係由啲「尾n-m個座標係0」嘅向量組成：$(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m},0,\ldots ,0)$。喺呢個商入邊，$\mathbb {R} ^{n}$入邊兩支向量係等價若且唯若佢哋尾$n-m$個座標係一樣，所以可以用尾呢$n-m$個座標嚟代表個商空間，而呢柞向量組成嘅空間好自然係同$\mathbb {R} ^{n-m}$同構嘅，亦即係話，$\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{n-m}$。

再推廣少少，若果向量空間$V$係兩個子空間$U,W$嘅（內）直積嘅話：$V=U\oplus W$，咁商空間$V/U$同$W$有一個自然同構，當然相反亦都有$V/W$同$U$之間嘅自然同構。

性質

短正合序列$0{\xrightarrow {z}}A{\xrightarrow {i}}B{\xrightarrow {s}}C{\xrightarrow {c}}0$嘅示意圖

由$V$去$V/U$有一個自然嘅滿同態（epimorphism），將向量$x$打去佢嘅等價類$[x]$，而佢個核就係子空間$U$。呢個關係可以用短正合序列好簡潔咁寫出嚟：

$0\to U\to V\to V/U\to 0$

如果$U$係$V$嘅子空間嘅話，$V/U$嘅維度又叫做$U$喺$V$入邊嘅餘維度（codimension）。如果畀咗$U$嘅一組基$A$同$V/U$嘅一組基$B$嘅話，可以對$B$嘅每一個元素搵返任意一個喺$V$入邊嘅代表，再加埋$A$入邊嘅向量就形成$V$嘅一組基，所以$V$嘅維度係$U$同$V/U$嘅加埋。如果$V$係有限維嘅話就可以做減數：$U$喺$V$入邊嘅餘維度係$V$嘅維度減$U$嘅維度：

$\mathrm {codim} (U)=\dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U)$

設$T:V\to W$係一個線性映射，$T$嘅核（寫做$\ker T$）裝住所有令$Tx=0$嘅向量$x$，$\ker T$係$V$嘅一個子空間，向量空間嘅第一同構定理講話商空間$V/\ker T$同$V$喺$W$入邊嘅映像係同構嘅，即係$V/\ker T\cong \mathrm {Im} \;T$，咁就即刻有個推論：對有限維空間$V$，$V$維度等於$\ker T$嘅維度（$T$嘅零化度nullity）加$\mathrm {Im} \;T$嘅維度（$T$嘅秩rank），即係所謂嘅秩—零化度定理（rank-nullity theorem）。

一個線性映射$T:V\to W$嘅餘核（cokernel）嘅定義係商空間$W/\mathrm {Im} \;T$。

巴拿赫空間嘅商

如果$X$係一個巴拿赫空間而$M$係佢一個閉子空間，咁商空間$X/M$都會係一個巴拿赫空間：佢嘅向量空間結構上邊已經定義咗，而分析方面佢自動有一個自然嘅範：

$\|[x]\|_{X/M}=\inf _{m\in M}\|x-m\|_{X}=\inf _{m\in M}\|x+m\|_{X}=\inf _{y\in [x]}\|y\|_{X}$

如果$X$係完備嘅話，商空間$X/M$帶住呢個範會自動係一個完備空間，所以係一個巴拿赫空間。

例子

設$C[0,1]$係區間$[0,1]$上邊連續實函數組成嘅巴拿赫空間，帶住sup範。設$M$係嗰啲$f(0)=0$嘅函數$f$組成嘅函數子空間，咁嘅話每個函數$g$嘅等價類係完全由佢喺$0$嗰個位嘅數值$g(0)$嚟決定，即係話商空間$C[0,1]/M$係同$\mathbb {R}$同構。

如果$X$係一個Hilbert空間嘅話，商空間$X/M$同$M$嘅正交補空間同構。

推廣去局部凸空間

一個局部凸空間（locally convex space）對閉子空間嘅商都依然係一個局部凸空間：如果$X$係一個局部凸空間而佢嘅拓樸結構係由$\{p_{\alpha }|\alpha \in A\}$呢拃半範（seminorm）產生出嚟嘅話，設$M$係一個閉子空間，並定義商空間$X/M$上面嘅半範$q_{\alpha }$：

$q_{\alpha }([x])=\inf _{v\in [x]}p_{\alpha }(v)$

咁$X/M$就係一個局部凸空間，而且拓樸結構係商拓樸。

喺呢個之上，若果$X$係可度量化（metrizable）嘅話，$X/M$都係；若果$X$係Fréchet嘅話，$X/M$都係。

應用

定義L^p空間

Dirichlet函數，佢積出嚟係0，所以喺${\mathcal {N}}$空間入邊，喺$L^{p}$空間入邊佢同0函數一樣。

喺分析學入邊，有一個好重要嘅概念，就係$L^{p}$空間。佢其實就係一啲p-可積函數，但係如果兩個函數嘅差積出嚟係$0$嘅話就當做一樣。具體啲嚟講，假如畀咗一個測度空間$(S,\Sigma ,\mu )$，定義${\mathcal {L}}^{p}$做裝住所有符合$\|f\|_{p}\equiv \left(\int _{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}<\infty$嘅函數$f$嘅集合，${\mathcal {L}}^{p}$自動會係一個向量空間，而事實上佢直程係一個半範空間，$\|\cdot \|_{p}$係一個半範。佢唔係一個範，而且$\|f\|_{p}=0$若且唯若$f$幾乎到到（almost everywhere）都係零。只要攞一個商佢就可以變成一個賦範空間：設${\mathcal {N}}=\{f\in {\mathcal {L^{p}}}:\|f\|_{p}=0\}$，咁商空間$L^{p}={\mathcal {L}}^{p}/{\mathcal {N}}$帶著$\|\cdot \|_{p}$就係一個賦範空間。呢個過程可以推廣去其他半範空間，所有半範空間都可以用呢個方法攞商變成一個賦範空間。

睇埋

• 商羣
• 商模
• 商集
• 商空間 (拓樸學)

書目

• Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right. Undergraduate Texts in Mathematics (第3版). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
• Dieudonné, Jean (1976), Treatise on Analysis,第2卷, Academic Press, ISBN 978-0122155024
• Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Finite-Dimensional Vector Spaces. Undergraduate Texts in Mathematics (第2版). Springer. ISBN 0-387-90093-4.
• Katznelson, Yitzhak; Katznelson, Yonatan R. (2008). A (Terse) Introduction to Linear Algebra. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Roman, Steven (2005). Advanced Linear Algebra. Graduate Texts in Mathematics (第2版). Springer. ISBN 0-387-24766-1.