商空間 (線性代數)

喺線性代數入面，一個向量空間 $V$ 對佢嘅一個子空間 $N$ 嘅商係一個新嘅向量空間，作用就好似將 $N$ 壓做一點咁。得到嘅空間叫做商空間，寫做 $V/N$ ，英文會讀做「V mod N」或者「V by N」。商空間喺數學入邊好重要亦都好基礎，喺幾何學入邊，睇上同調（cohomology）、譜序列（spectral sequence）等等都要用到商空間嚟定義，分析入邊嘅L^p空間都要用商空間嚟定義。

定義編輯

呢度列出商空間喺數學上邊嚴謹嘅定義或者叫構作（construction）。^[1]設 $V$ 係場 $K$ 上邊嘅一個向量空間， $N$ 係 $V$ 嘅一個子空間。喺 $V$ 上邊定義一個等價關係 $\sim$ 如下： $x\sim y$ 若且唯若 $x-y\in N$ ，換句話講，若果喺 $N$ 入邊搵到支向量 $n$ ，令 $x+n=y$ 嘅話， $x$ 同 $y$ 就係有關係。由呢個定義睇得出 $N$ 入邊嘅所有向量都同零向量有關係，亦即係話 $N$ 入邊嘅所有向量都同 $0$ 向量喺同一個等價類。 $x$ 對應嘅等價類通常寫做 $[x]=x+N$ ，因為佢可以寫做 $[x]=\{x+n:n\in N\}$ 。

商空間 $V/N$ 集合嘅定義就係 $V/\sim$ ，即係 $\sim$ 呢個關係嘅等價類集合。等價類嘅純量乘法同向量加法係咁樣定義嘅：^[2]^[3]

$\alpha [x]=[\alpha x]$ ， $\alpha \in K$
$[x]+[y]=[x+y]$

好易就可以證明呢個定義係無關於所揀嘅代表，即係話呢兩個運算係良定義嘅。呢兩個運算令 $V/N$ 成為一個向量空間，其中 $N=[0]$ 係入邊嘅零向量。

將 $v$ 打去等價類 $[v]$ 嗰個映射叫商映射（quotient map）。

另一個講法係，商空間 $V/N$ 係所有同 $N$ 平行嘅仿射空間組成嘅集。^[4]

例子編輯

平面（二維空間）對一維子空間

F

嘅商

設 $X=\mathbb {R} ^{2}$ 係歐幾里得平面， $Y$ 係 $X$ 入邊一條穿過原點嘅直線，咁商空間 $X/Y$ 可以睇做 $X$ 入邊所有同 $Y$ 平行嘅線形成嘅空間，即係話 $X/Y$ 入邊嘅每一粒元素都係 $X$ 入邊同 $Y$ 平行嘅一條直線。如果喺 $X$ 入邊揀一條同 $Y$ 唔平行而且穿過原點嘅直線 $Z$ 嘅話，對 $Z$ 入邊每一點 $z$ ，都有一條直線穿過 $z$ 而且同 $Y$ 平行，呢個就畀咗一個幾何嘅方法去睇 $X/Y$ ，我哋話 $Z$ 參數化咗同 $Y$ 平行嘅直線，而事實上 $X/Y$ 係同構於 $Z$ （ $X/Y\cong Z$ ）。同樣地，如果用一個三維空間對一條直線做商嘅話，都可以用一個同條直線唔平行嘅平面去代表個商空間。

推廣少少，我哋睇n-維歐幾里得空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 對佢頭 $m$ 支標準基向量生成出嚟嘅子空間做嘅商（ $m\leq n$ ）， $\mathbb {R} ^{n}$ 由n元組實數 $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ 組成，而嗰個子空間（同 $\mathbb {R} ^{m}$ 同構）就係由啲「尾n-m個座標係0」嘅向量組成： $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m},0,\ldots ,0)$ 。喺呢個商入邊， $\mathbb {R} ^{n}$ 入邊兩支向量係等價若且唯若佢哋尾 $n-m$ 個座標係一樣，所以可以用尾呢 $n-m$ 個座標嚟代表個商空間，而呢柞向量組成嘅空間好自然係同 $\mathbb {R} ^{n-m}$ 同構嘅，亦即係話， $\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{n-m}$ 。

再推廣少少，若果向量空間 $V$ 係兩個子空間 $U,W$ 嘅（內）直積嘅話： $V=U\oplus W$ ，咁商空間 $V/U$ 同 $W$ 有一個自然同構，當然相反亦都有 $V/W$ 同 $U$ 之間嘅自然同構。^[5]

性質編輯

短正合序列

0{\xrightarrow {z}}A{\xrightarrow {i}}B{\xrightarrow {s}}C{\xrightarrow {c}}0

嘅示意圖

由 $V$ 去 $V/U$ 有一個自然嘅滿同態（epimorphism），將向量 $x$ 打去佢嘅等價類 $[x]$ ，而佢個核就係子空間 $U$ 。呢個關係可以用短正合序列好簡潔咁寫出嚟：

0\to U\to V\to V/U\to 0

如果 $U$ 係 $V$ 嘅子空間嘅話， $V/U$ 嘅維度又叫做 $U$ 喺 $V$ 入邊嘅餘維度（codimension）。如果畀咗 $U$ 嘅一組基 $A$ 同 $V/U$ 嘅一組基 $B$ 嘅話，可以對 $B$ 嘅每一個元素搵返任意一個喺 $V$ 入邊嘅代表，再加埋 $A$ 入邊嘅向量就形成 $V$ 嘅一組基，所以 $V$ 嘅維度係 $U$ 同 $V/U$ 嘅加埋。如果 $V$ 係有限維嘅話就可以做減數： $U$ 喺 $V$ 入邊嘅餘維度係 $V$ 嘅維度減 $U$ 嘅維度：^[6]^[7]

\mathrm {codim} (U)=\dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U)

設 $T:V\to W$ 係一個線性映射， $T$ 嘅核（寫做 $\ker T$ ）裝住所有令 $Tx=0$ 嘅向量 $x$ ， $\ker T$ 係 $V$ 嘅一個子空間，向量空間嘅第一同構定理講話商空間 $V/\ker T$ 同 $V$ 喺 $W$ 入邊嘅映像係同構嘅，即係 $V/\ker T\cong \mathrm {Im} \;T$ ，咁就即刻有個推論：對有限維空間 $V$ ， $V$ 維度等於 $\ker T$ 嘅維度（ $T$ 嘅零化度nullity）加 $\mathrm {Im} \;T$ 嘅維度（ $T$ 嘅秩rank），即係所謂嘅秩—零化度定理（rank-nullity theorem）。

一個線性映射 $T:V\to W$ 嘅餘核（cokernel）嘅定義係商空間 $W/\mathrm {Im} \;T$ 。

萬有性質編輯

巴拿赫空間嘅商編輯

如果 $X$ 係一個巴拿赫空間而 $M$ 係佢一個閉子空間，咁商空間 $X/M$ 都會係一個巴拿赫空間：佢嘅向量空間結構上邊已經定義咗，而分析方面佢自動有一個自然嘅範：

\|[x]\|_{X/M}=\inf _{m\in M}\|x-m\|_{X}=\inf _{m\in M}\|x+m\|_{X}=\inf _{y\in [x]}\|y\|_{X}

如果 $X$ 係完備嘅話，商空間 $X/M$ 帶住呢個範會自動係一個完備空間，所以係一個巴拿赫空間。

例子編輯

設 $C[0,1]$ 係區間 $[0,1]$ 上邊連續實函數組成嘅巴拿赫空間，帶住sup範。設 $M$ 係嗰啲 $f(0)=0$ 嘅函數 $f$ 組成嘅函數子空間，咁嘅話每個函數 $g$ 嘅等價類係完全由佢喺 $0$ 嗰個位嘅數值 $g(0)$ 嚟決定，即係話商空間 $C[0,1]/M$ 係同 $\mathbb {R}$ 同構。

如果 $X$ 係一個Hilbert空間嘅話，商空間 $X/M$ 同 $M$ 嘅正交補空間同構。

推廣去局部凸空間編輯

一個局部凸空間（locally convex space）對閉子空間嘅商都依然係一個局部凸空間^[8]：如果 $X$ 係一個局部凸空間而佢嘅拓樸結構係由 $\{p_{\alpha }|\alpha \in A\}$ 呢拃半範（seminorm）產生出嚟嘅話，設 $M$ 係一個閉子空間，並定義商空間 $X/M$ 上面嘅半範 $q_{\alpha }$ ：

q_{\alpha }([x])=\inf _{v\in [x]}p_{\alpha }(v)

咁 $X/M$ 就係一個局部凸空間，而且拓樸結構係商拓樸。

喺呢個之上，若果 $X$ 係可度量化（metrizable）嘅話， $X/M$ 都係；若果 $X$ 係Fréchet嘅話， $X/M$ 都係。^[9]

應用編輯

定義L^p空間編輯

Dirichlet函數，佢積出嚟係0，所以喺

{\mathcal {N}}

空間入邊，喺

L^{p}

空間入邊佢同0函數一樣。

喺分析學入邊，有一個好重要嘅概念，就係 $L^{p}$ 空間。佢其實就係一啲p-可積函數，但係如果兩個函數嘅差積出嚟係 $0$ 嘅話就當做一樣。具體啲嚟講，假如畀咗一個測度空間 $(S,\Sigma ,\mu )$ ，定義 ${\mathcal {L}}^{p}$ 做裝住所有符合 $\|f\|_{p}\equiv \left(\int _{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}<\infty$ 嘅函數 $f$ 嘅集合， ${\mathcal {L}}^{p}$ 自動會係一個向量空間，而事實上佢直程係一個半範空間， $\|\cdot \|_{p}$ 係一個半範。佢唔係一個範，而且 $\|f\|_{p}=0$ 若且唯若 $f$ 幾乎到到（almost everywhere）都係零。只要攞一個商佢就可以變成一個賦範空間：設 ${\mathcal {N}}=\{f\in {\mathcal {L^{p}}}:\|f\|_{p}=0\}$ ，咁商空間 $L^{p}={\mathcal {L}}^{p}/{\mathcal {N}}$ 帶著 $\|\cdot \|_{p}$ 就係一個賦範空間。呢個過程可以推廣去其他半範空間，所有半範空間都可以用呢個方法攞商變成一個賦範空間。