商空間 (線性代數)

線性代數入面,一個向量空間對佢嘅一個子空間係一個新嘅向量空間,作用就好似將壓做一點咁。得到嘅空間叫做商空間,寫做,英文會讀做「V mod N」或者「V by N」。商空間喺數學入邊好重要亦都好基礎,喺幾何學入邊,睇上同調(cohomology)、譜序列(spectral sequence)等等都要用到商空間嚟定義,分析入邊嘅Lp空間都要用商空間嚟定義。

定義

呢度列出商空間喺數學上邊嚴謹嘅定義或者叫構作(construction)。[1] 係場 上邊嘅一個向量空間  嘅一個子空間。喺 上邊定義一個等價關係 如下: 若且唯若 ,換句話講,若果喺   入邊搵到支向量  ,令   嘅話,   就係有關係。由呢個定義睇得出   入邊嘅所有向量都同零向量有關係,亦即係話   入邊嘅所有向量都同   向量喺同一個等價類 對應嘅等價類通常寫做 ,因為佢可以寫做 

商空間 集合嘅定義就係 ,即係 呢個關係嘅等價類集合。等價類嘅純量乘法向量加法係咁樣定義嘅:[2][3]

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好易就可以證明呢個定義係無關於所揀嘅代表,即係話呢兩個運算係良定義嘅。呢兩個運算令 成為一個向量空間,其中 係入邊嘅零向量。

 打去等價類 嗰個映射叫商映射(quotient map)。

另一個講法係,商空間 係所有同 平行仿射空間組成嘅集。[4]

例子

 
平面(二維空間)對一維子空間 嘅商

 歐幾里得平面  入邊一條穿過原點嘅直線,咁商空間 可以睇做 入邊所有同 平行嘅線形成嘅空間,即係話 入邊嘅每一粒元素都係 入邊同 平行嘅一條直線。如果喺 入邊揀一條同 唔平行而且穿過原點嘅直線 嘅話,對 入邊每一點 ,都有一條直線穿過 而且同 平行,呢個就畀咗一個幾何嘅方法去睇 ,我哋話 參數化咗同 平行嘅直線,而事實上 係同構於  )。同樣地,如果用一個三維空間對一條直線做商嘅話,都可以用一個同條直線唔平行嘅平面去代表個商空間。

推廣少少,我哋睇n-維歐幾里得空間 對佢頭 標準基向量生成出嚟嘅子空間做嘅商( ), n元組實數 組成,而嗰個子空間(同 同構)就係由啲「尾n-m個座標係0」嘅向量組成: 。喺呢個商入邊, 入邊兩支向量係等價若且唯若佢哋尾 個座標係一樣,所以可以用尾呢 個座標嚟代表個商空間,而呢柞向量組成嘅空間好自然係同 同構嘅,亦即係話, 

再推廣少少,若果向量空間 係兩個子空間 嘅(內)直積嘅話: ,咁商空間  有一個自然同構,當然相反亦都有  之間嘅自然同構。[5]

性質

 
短正合序列 嘅示意圖

  有一個自然嘅滿同態(epimorphism),將向量 打去佢嘅等價類 ,而佢個就係子空間 。呢個關係可以用短正合序列好簡潔咁寫出嚟:

 

如果  嘅子空間嘅話, 嘅維度又叫做  入邊嘅餘維度(codimension)。如果畀咗 嘅一組  嘅一組基 嘅話,可以對 嘅每一個元素搵返任意一個喺 入邊嘅代表,再加埋 入邊嘅向量就形成 嘅一組基,所以 嘅維度係  嘅加埋。如果 有限維嘅話就可以做減數:  入邊嘅餘維度係 嘅維度減 嘅維度:[6][7]

 

 係一個線性映射 嘅核(寫做 )裝住所有令 嘅向量   嘅一個子空間,向量空間嘅第一同構定理講話商空間   入邊嘅映像係同構嘅,即係 ,咁就即刻有個推論:對有限維空間  維度等於 嘅維度( 嘅零化度nullity)加 嘅維度( 嘅秩rank),即係所謂嘅秩—零化度定理(rank-nullity theorem)。

一個線性映射 餘核(cokernel)嘅定義係商空間 

萬有性質

巴拿赫空間嘅商

如果 係一個巴拿赫空間 係佢一個子空間,咁商空間 都會係一個巴拿赫空間:佢嘅向量空間結構上邊已經定義咗,而分析方面佢自動有一個自然嘅

 

如果 完備嘅話,商空間 帶住呢個範會自動係一個完備空間,所以係一個巴拿赫空間。

例子

 區間 上邊連續實函數組成嘅巴拿赫空間,帶住sup範。設 係嗰啲 嘅函數 組成嘅函數子空間,咁嘅話每個函數 嘅等價類係完全由佢喺 嗰個位嘅數值 嚟決定,即係話商空間 係同 同構。

如果 係一個Hilbert空間嘅話,商空間  正交補空間同構。

推廣去局部凸空間

一個局部凸空間(locally convex space)對閉子空間嘅商都依然係一個局部凸空間[8]:如果 係一個局部凸空間而佢嘅拓樸結構係由 呢拃半範(seminorm)產生出嚟嘅話,設 係一個閉子空間,並定義商空間 上面嘅半範 

 

 就係一個局部凸空間,而且拓樸結構係商拓樸

喺呢個之上,若果 可度量化(metrizable)嘅話, 都係;若果 Fréchet嘅話, 都係。[9]

應用

定義Lp空間

 
Dirichlet函數,佢積出嚟係0,所以喺 空間入邊,喺 空間入邊佢同0函數一樣。

分析學入邊,有一個好重要嘅概念,就係 空間。佢其實就係一啲p-可積函數,但係如果兩個函數嘅差積出嚟係 嘅話就當做一樣。具體啲嚟講,假如畀咗一個測度空間 ,定義 做裝住所有符合 嘅函數 嘅集合, 自動會係一個向量空間,而事實上佢直程係一個半範空間 係一個半範。佢唔係一個,而且 若且唯若 幾乎到到(almost everywhere)都係零。只要攞一個商佢就可以變成一個賦範空間:設 ,咁商空間 帶著 就係一個賦範空間。呢個過程可以推廣去其他半範空間,所有半範空間都可以用呢個方法攞商變成一個賦範空間。

定義上同調

睇埋

參考

  1. Halmos (1974) pp. 33-34 §§ 21-22
  2. Katznelson & Katznelson (2008) p. 9 § 1.2.4
  3. Roman (2005) p. 75-76, ch. 3
  4. Axler (2015) p. 95, § 3.83
  5. Halmos (1974) p. 34, § 22, Theorem 1
  6. Axler (2015) p. 97, § 3.89
  7. Halmos (1974) p. 34, § 22, Theorem 2
  8. Dieudonné (1976) p. 65, § 12.14.8
  9. Dieudonné (1976) p. 54, § 12.11.3

書目

  • Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right. Undergraduate Texts in Mathematics (第3版). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
  • Dieudonné, Jean (1976), Treatise on Analysis,第2卷, Academic Press, ISBN 978-0122155024
  • Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Finite-Dimensional Vector Spaces. Undergraduate Texts in Mathematics (第2版). Springer. ISBN 0-387-90093-4.
  • Katznelson, Yitzhak; Katznelson, Yonatan R. (2008). A (Terse) Introduction to Linear Algebra. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4419-9.
  • Roman, Steven (2005). Advanced Linear Algebra. Graduate Texts in Mathematics (第2版). Springer. ISBN 0-387-24766-1.