歐拉公式

歐拉公式（Euler's formula）係瑞士數學家歐拉提出嘅數學分析公式，指出咗三角函數同複指數函數之間嘅關係。內容係對任何實數 x：

歐拉公式

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

當中 e 係歐拉常數，i 係虛數單位，cos 同 sin 係三角函數。複指數函數有時會寫做 cis x（cosine + i sine）。呢條式對於複數嘅 x 都喺啱嘅，所以有啲人講歐拉公式係指複數嘅歐拉公式。

歐拉公式喺數學、物理同工程學無處不在。著名物理學家理察費曼話呢條公式係「我哋嘅寶石」、「數學入面最卓越嘅公式」。

代 $x=\pi$ 入去嘅話，條式變咗 $e^{i\pi }+1=0$ ，就係著名嘅歐拉恆等式。

拓撲學理解

用拓撲學嘅語言嚟講，歐拉公式展示咗虛指數函數 $t\mapsto e^{it}$ 係由實數線 $\mathbb {R}$ 打去單位圓 $S^{1}$嘅拓撲羣滿態射。事實上，呢個係一個覆蓋映射，所以 $\mathbb {R}$ 係 $S^{1}$ 嘅覆蓋空間。同樣，歐拉恆等式話畀我哋知呢個映射嘅核係 $2\pi \mathbb {Z}$。以上嘅結果可以用以下嘅交換圖去總結：

證明

用Taylor's級數證明嘅動畫

用冪級數

採用複指數函數嘅冪級數定義嘅話，對實數 x：

${\begin{aligned}e^{ix}&=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&=\cos x+i\sin x,\end{aligned}}$

尾二嗰步我哋可以調加數嘅次序，因爲兩個級數都喺絕對收斂嘅；最後一步用咗 cos 同 sin 嘅級數展開。