直接證明粵拼:Zik6 zip3 zing3 ming4英國話:Direct Proof),又叫推導,係數學證明嘅方法之一,亦都係最普及同埋常用嘅。有句話:「有時最直接嘅解決方法係最簡單。」就正正最可以代表直接證明。呢個證明方法係先揾出一啲數學家覺得唔使證明都可以當係真嘅命題(粵拼:Ming6 tai4;Proposition)或者之前已經證明咗嘅定理(粵拼:Ding6 lei5;Theorem),用純邏輯推理(粵拼:Teoi1 lei5;Deductive reasoning)去推個結論出嚟。

概念

大部分定理都可以分做「如果   成立,咁   就成立。」如果   令到   成立,而   令到   成立,如此類推。最後   令到   成立,咁樣「 」。

利用邏輯運算字表達嘅話係:

 

例子

證明:「假設整數  。如果  單數,咁樣   都係單數。」

證明:「任何兩個實數  。如果  ,咁樣  。」

草稿:其實係點樣諗到個證明呢?利用下面呢條式,睇下係唔係真係  

 


證明方程相等

如果要證明一條方程相等,除咗正常嘅左面等於右面之外,亦可以利用以下幾個方法:

  •  
  •   同埋  
  •   同埋  

例子:「證明  。」

雙向式證明

雙向式定義

雙向式(粵拼:Soeng1 hoeng3 sik1;If and only If Statement)係邏輯上嘅一類句字,佢係指嗰句句子無論順方向定係逆方向都啱嘅。喺數學語言上佢係用「 」邏輯運算子嚟代表嘅。

一般句字都未必係雙向,例如話:「老母係女人。」但係,女人未必係老母。用邏輯運算子嚟表達,  唔代表  

因此,證明雙向式需要證明兩個方向,「 」同埋「 」 。

例子

證明:「假設  ,咁  。 」



證明一個集係另一個集嘅子集

內文: 集合論

假設一個數學家想要證明一個(Set)   係另一個集  子集(Subset),即係要證明  。如果喺   入面搵任何一粒嘢  (即係  ),佢同時又係   嘅嘢(即係  )嘅話,咁就證明到  

例子:「證明任何兩個集    


證明兩個集相等

內文: 集合論

如果想要證明兩個集    係一樣嘅,就需要證明   同埋  ,咁樣先至可以話  

更多例子

以下幾個證明都可以利用直接證明好簡單就搞掂:

  • 如果   係雙數,咁   就唔會係質數。
  • 兩個連續單數加埋係四嘅倍數。
  • 如果   係一個由   射去   嘅函數。設    都係   嘅子集。咁「 」,「 」都係成立。
  • 如果     都係集,咁「 」、「 」同「 」都成立。
  • 如果    都係   嘅子集,「 」。

睇埋

參考

  • Barwise, J. (Ed.). (1982). Handbook of mathematical logic (Vol. 90). Elsevier.