質數冪數學名詞,係指單一質數乘積組成嘅自然數

例如:7 = 719 = 32 同埋32 = 25都係質數冪,而6 = 2 × 312 = 22 × 336 = 62 = 22 × 3240 = 23 × 5唔係,因為佢哋有兩個或者超過兩個質因數

前幾個質數冪如下:2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 125, 127, 128, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 243, 251, 256, ... (OEIS中嘅數列A246655)、(OEIS中嘅數列A000961)(有1嘅數列)

質數冪係只有一個質因數嘅整數。質數冪同類似嘅概念又叫做准素(primary numbers),例如准素分解

性質

代數性質

質數冪係質數嘅自乘積。每一個質數冪(2嘅冪次除外)都有一個原根,因此整數模嘅整數模n乘法群pn循環群

有限域元素嘅總數一定係質數冪,相對嘅,質數冪一定係某一個有限域元素嘅個數(頂多有同構嘅差異)。

組合性質

質數冪嘅一個特性常用喺解析數論中:質數冪嘅集合中唔係質數嘅元素係small set英文small set (combinatorics),因為佢嘅倒數無限級數和收斂英文convergent series,而質數則係large set。

可除性

質數冪嘅歐拉函數φ)及除數函數σ0)和σ1可以用下式計算:

 
 
 


其他

所有嘅質數冪都係次方數質數除外),質數冪冇可能係楔形數佩服數

2嘅冪都係殆完全數

所有質數冪都係虧數。質數冪pnn殆素數。重未確定質數冪係唔係可以係相親數,若果有咁嘅數,pn一定大過101500,而且n一定大過1400。

流行媒體

喺1997嘅電影《異次元殺陣》中,質數冪係其中重要嘅一部份,喺好似迷宮噉嘅立方體結構中,質數冪係致命牙煙嘅指標。

參考

  • Elementary Number Theory. Jones, Gareth A. and Jones, J. Mary. Springer-Verlag London Limited. 1998.

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