連續函數

連續函數（Continuous function）係一類好重要跁函數，同時佢喺數學分析入面都係極其重要。佢嘅概念喺牛頓嘅年代已經有，當時會有唔斷嘅線嚟形容，即係「not broken curve」。之後到咗十九世紀，就開始有一個確實嘅定義。

連續函數係一個好重要函數類，佢可以導到佢自己（Differentiable）。

定義

設 $A\subseteq \mathbb {R} ,f:A\to \mathbb {R} ,c\in A$ 。

假設有個 $\varepsilon >0$ ，咁就會有一個 $\delta >0$ 符合，如果喺 $A$ 入面有一點 $x\in A$ 符合 $|x-c|<\delta$ ，咁 $|f(x)-f(c)|<\varepsilon$ 。

咁就會話 $f$ 喺 $c$ 嗰度係連續嘅（ $f$ is continuous at $c$ ）。

如果以下條件唔成立，就會話 $f$ 喺 $c$ 嗰度係唔連續嘅（ $f$ is discontinuous at $c$ ）。

對應函數數列要求，喺呢個課題上面，都會有相類似嘅要求。

$f$ 喺 $c$ 度係連續嘅，咁一定係每一個喺 $A$ 入面嘅數列 $(x_{n})$ 係趨向 $c$ 嘅，對應嘅 $(f(x_{n}))$ 都係趨向 $f(c)$ 。「 $\iff$ 」

假設 $A\subseteq \mathbb {R} ,f:A\to \mathbb {R} ,c\in A$ 。

$f$ 喺 $c$ 到係唔連續嘅，咁一定係每一個喺 $A$ 入面嘅數列 $(x_{n})$ 係趨向 $c$ 嘅，對應嘅 $(f(x_{n}))$ 係唔趨向 $f(c)$ 。「 $\iff$ 」

呢個要求屬於，數列要求嘅推理。

假設 $A\subseteq \mathbb {R} ,f:A\to \mathbb {R}$ 。 $B$ 係 $A$ 嘅子集，即係 $B\subseteq A$ 。

如果 $f$ 喺 $B$ 入面每一點都係連續嘅話，我哋會叫 $f$ 係連續喺集 $B$ 上面（ $f$ is continuous on set $B$ ）。

$f(x):=c$ ， $c$ 係一個常數。

呢個係一個連續函數。因為 $\lim _{x\to c'}f(x)=c$ 同時 $f(c')=c$ ，所以佢係連續函數。同時，佢係每點都係連續。

$f(x):=x$ 。

呢個都係一個連續函數。