函數組合嘅連續性

函數組合嘅連續性（Combination of Continuous Function）係連續函數中嘅一個概念。佢係講緊兩個函數組合之後嘅連續性。呢套概念想解答嘅問題係：兩個連續函數組合之後重係唔係連續。

組合就包括函數嘅處理方法，即係 $+,-,\times ,\div ,\circ$ 。

點連續計算法

假設 $A\subseteq \mathbb {R}$ ， $f$ 同 $g$ 都係函數， $b\in \mathbb {R}$ 係一點實數。

假設 $c\in A$ 係 $A$ 入面嘅一點，咁 $f$ 同 $g$ 喺 $c$ 呢點度都係連續嘅。以下嘅都會係啱嘅：

$f+g,f-g,fg,bg$ 都會喺 $c$ 呢點度連續。
再假設 $h:A\to \mathbb {R}$ 喺 $c\in A$ 呢點度係連續嘅，同埋 $h(x)\neq 0,\forall x\in A$ ，咁 ${\frac {f}{h}}$ 都係喺 $c$ 呢點度連續。

證明

根據假設得知， $\lim _{x\to c}f(x)=f(c)$ 同埋 $\lim _{x\to c}g(x)=g(c)$ 。

咁利用函數極限嘅計算法則得知，

$\lim _{x\to c}f(x)+g(x)=\lim _{x\to c}f(x)+\lim _{x\to c}g(x)=f(c)+g(c)$
$\lim _{x\to c}f(x)-g(x)=\lim _{x\to c}f(x)-\lim _{x\to c}g(x)=f(c)-g(c)$
$\lim _{x\to c}f(x)\times g(x)=\lim _{x\to c}f(x)\times \lim _{x\to c}g(x)=f(c)\times g(c)$

設 $f(x):=b$ ，咁利用上面 $\lim _{x\to c}b\times g(x)=\lim _{x\to c}f(x)\times g(x)=\lim _{x\to c}f(x)\times \lim _{x\to c}g(x)=f(c)\times g(c)=b\times g(c)$ 。

設 $h:A\to \mathbb {R}$ 喺 $c\in A$ 呢點度係連續嘅，同埋 $h(x)\neq 0,\forall x\in A$ ，咁利用函數極限嘅計算法則得知，

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\displaystyle {\lim _{x\to c}f(x)}}{\displaystyle {\lim _{x\to c}g(x)}}}={\frac {f(c)}{g(c)}}$ 。

因為連續函數嘅定義係，如果 $\lim _{x\to c}f(x)=f(c)$ ，咁 $f$ 就係喺 $c$ 呢點度連續。

所以以上各式成立。

集上連續計算法

由點連續計算法可以推出，集上連續嘅計算法。

定理

設 $A\subseteq \mathbb {R}$ ， $f$ 同 $g$ 都係喺集 $A$ 上面連續， $b\in \mathbb {R}$ 係一點實數。以下都會係啱嘅：

$f+g,f-g,fg,bg$ 都會喺集 $A$ 上面連續。
再假設 $h:A\to \mathbb {R}$ 喺集 $A$ 上面連續嘅，同埋 $h(x)\neq 0,\forall x\in A$ ，咁 ${\frac {f}{h}}$ 都會喺集 $A$ 上面連續。

例子

多項式函數： $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ 係一個喺 $\mathbb {R}$ 上面連續嘅函數。
有理函數：設 $p,q$ 係兩個多項式函數，而且喺集 $A$ 上面連續。只要將 $q$ 嘅根除去，即係 $x\not \in \{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\}$ ， $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$ 係 $q$ 嘅根，咁 $q(x)\neq 0$ ，得出有理函數 $r(x):={\frac {p(x)}{q(x)}}$ 喺所有 $x$ 點入面，除咗以上講嗰啲點之外，都係連續嘅。
因為 $\sin$ ，同 $\cos$ 都係喺 $\mathbb {R}$ 連續嘅，所以可以得知 $\tan ,\sec ,\cot ,\sec$ 都係喺某一堆點連續嘅。

絕對同開方連續函數

絕對連續函數

設 $A\subseteq \mathbb {R}$ ， $f:A\to \mathbb {R}$ 。定義 $|f|$ 為 $|f|(x):=|f(x)|,\forall x\in A$ 。咁以下兩條一定成立：

如果 $f$ 喺 $c\in A$ 呢點連續，咁 $|f|$ 都會喺 $c\in A$ 呢點連續。
如果 $f$ 喺集 $A$ 上面連續，咁 $|f|$ 都會喺集 $A$ 上面連續。

開方連續函數

假設 $A\subseteq \mathbb {R}$ ， $f:A\to \mathbb {R}$ ， $f$ 符合 $f(x)\geq 0,\forall x\in A$ 。定義 ${\sqrt {f}}$ 為 ${\bigl (}{\sqrt {f}}{\bigr )}(x):={\sqrt {f(x)}},\forall x\in A$ 。咁以下兩條一定成立：

如果 $f$ 喺 $c\in A$ 呢點連續，咁 ${\sqrt {f}}$ 都會喺 $c\in A$ 呢點連續。
如果 $f$ 喺集 $A$ 上面連續，咁 ${\sqrt {f}}$ 都會喺集 $A$ 上面連續。

以上兩條都係可以由數列要求，推到函數極限，再引出以上兩個結果。

組合函數嘅連續性

喺連續性入面，係可以討論埋組合函數呢一個函數運算嘅方法。以下嘅定理會證明出 $f:A\to \mathbb {R}$ 喺 $c\in A$ 呢點度連續，同埋 $g:B\to \mathbb {R}$ 喺 $b=f(c)\in B$ 呢點度連續，會引伸出 $g\circ f$ 喺 $c$ 呢點度係連續。當然 $g\circ f$ 會係定義到，同埋 $f(A)\subseteq B$ 。