函數組合嘅連續性

函數組合嘅連續性(Combination of Continuous Function)係連續函數中嘅一個概念。佢係講緊兩個函數組合之後嘅連續性。呢套概念想解答嘅問題係:兩個連續函數組合之後重係唔係連續。

組合就包括函數嘅處理方法,即係

點連續計算法

假設   都係函數, 係一點實數。

假設  入面嘅一點,咁   呢點度都係連續嘅。以下嘅都會係啱嘅:

  •  都會喺 呢點度連續。
  • 再假設  呢點度係連續嘅,同埋 ,咁 都係喺 呢點度連續。

證明

根據假設得知, 同埋 

咁利用函數極限嘅計算法則得知,

  •  
  •  
  •  

 ,咁利用上面 

  呢點度係連續嘅,同埋 ,咁利用函數極限嘅計算法則得知,

 

因為連續函數嘅定義係,如果 ,咁 就係喺 呢點度連續。

所以以上各式成立。

集上連續計算法

由點連續計算法可以推出,集上連續嘅計算法。

定理

   都係喺 上面連續 係一點實數。以下都會係啱嘅:

  •  都會喺集 上面連續。
  • 再假設 喺集 上面連續嘅,同埋 ,咁 都會喺集 上面連續。

例子

  • 多項式函數 係一個喺 上面連續嘅函數。
  • 有理函數:設 係兩個多項式函數,而且喺集 上面連續。只要將 除去,即係   嘅根,咁 ,得出有理函數 喺所有 點入面,除咗以上講嗰啲點之外,都係連續嘅。
  • 因為 ,同 都係喺 連續嘅,所以可以得知 都係喺某一堆點連續嘅。

絕對同開方連續函數

絕對連續函數

  。定義  。咁以下兩條一定成立:

  • 如果  呢點連續,咁 都會喺 呢點連續。
  • 如果 喺集 上面連續,咁 都會喺集 上面連續。

開方連續函數

假設   符合 。定義  。咁以下兩條一定成立:

  • 如果  呢點連續,咁 都會喺 呢點連續。
  • 如果 喺集 上面連續,咁 都會喺集 上面連續。

以上兩條都係可以由數列要求,推到函數極限,再引出以上兩個結果。

組合函數嘅連續性

喺連續性入面,係可以討論埋組合函數呢一個函數運算嘅方法。以下嘅定理會證明出  呢點度連續,同埋  呢點度連續,會引伸出  呢點度係連續。當然 會係定義到,同埋 

定理一

假設  同埋 ,符合 

如果  呢點到連續,同埋  呢點度連續,咁  呢點度係連續。

證明:

假設   -鄰區。

咁因為  度係連續,所以就會有一個  -鄰區叫 ,使到如果 ,咁 

同時,因為  度係連續,所以就會有一個  -鄰區叫 ,使到如果 ,咁 

因為 ,所以如果 ,咁 

因此, 

因為 係任意一個鄰區,咁 就係喺 呢點上面連續。

定理二

假設  同埋 ,符合 

如果 喺集 上面度連續,同埋 喺集 上面度連續,咁  呢點度係連續。

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