保西奴中間點定理

保西奴中間點定理(Bolzano's Intermediate Value Theorem)係屬於數學分析入面,間上連續函數入面一個定理嘅推斷。佢係來自根定位定理,而根定位定理係一個相當重要嘅定理,佢會利用左斬半間距嘅做法。

根定位定理

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假設  係喺 上面連續

如果 或者 ,咁就會有一點 符合 

證明:

假設 

設一個間距   就係呢個間距嘅中間點。

如果 ,咁 ,可以收工。

如果 ,咁即係 或者 

  • 如果 ,設  就係 間距嘅中間點。
  • 如果 ,設  就係 間距嘅中間點。

無論如何,都會得出一個循環間距 符合 同埋 

將以上步驟做落去可以得到以下設定:

有間距 符合 同埋 ,設 ,將佢斬半。

  • 如果 ,咁 ,可以收工。
  • 如果 ,設  就係 間距嘅中間點。
  • 如果 ,設  就係 間距嘅中間點。

如果上面嘅步驟係有限咁多步就做到 ,咁定理就成立。

需要考慮,呢個步驟係無限咁進行落去嘅話會點。

假設以上步驟係無窮咁進行,咁就會得出一串循環間距 

 ,同時間會有 同埋 

因為每次間距都斬半,所以 嘅長度係 

利用循環間距定理,得知對應所有嘅 ,會有一點  入面,即係話 

利用長度嚟計算 ,所以 

因為  呢點上面係連續,所以 

利用極限排序性質 同埋 

所以總結出 

中間點定理

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中間點定理(Intermediate Value Theorem)係上面根定位嘅推理。

假設 係一個間距同埋 係喺 上面連續。

如果 同埋 符合 ,咁就會有一點   之間,使到 

證明:

只有兩個可能性,就係 或者 

證明 

 

  

利用 得知, 

即係 ,再利用根定位定理得知,有點 符合 

 

證明 

 

  

利用 得知, 

即係 ,再利用根定位定理得知,有點 符合 

 

推斷:

 係一個關閉又被綁定嘅間距, 係喺 上面連續嘅。

如果 係任何一個數符合 ,咁就會有一點 使到 

應用

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 係一個關閉又被綁定嘅間距, 係喺 上面連續嘅。咁 都係一個關閉又被綁定嘅間距。

證明:

  

利用最高點最低點定理,得知 

所以 

 

咁因為中間點嘅推斷得知,有會一點 符合 

所以 

因此 

綜合兩者, 係一個間距,佢係 

睇埋

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