保西奴中間點定理

保西奴中間點定理（Bolzano's Intermediate Value Theorem）係屬於數學分析入面，間上連續函數入面一個定理嘅推斷。佢係來自根定位定理，而根定位定理係一個相當重要嘅定理，佢會利用左斬半間距嘅做法。

根定位定理

假設 $I:=[a,b]$ ， $f:I\to \mathbb {R}$ 係喺 $I$ 上面連續。

如果 $f(a)<0<f(b)$ 或者 $f(a)>0>f(b)$ ，咁就會有一點 $c\in (a,b)$ 符合 $f(c)=0$ 。

證明：

假設 $f(a)<0<f(b)$ 。

設一個間距 $I_{1}:=[a_{1},b_{1}]$ ， $a_{1}=a,b_{1}=b$ ， $m_{1}={\frac {1}{2}}(a_{1}+b_{1})$ 就係呢個間距嘅中間點。

如果 $f(m_{1})=0$ ，咁 $c=m_{1}$ ，可以收工。

如果 $f(m_{1})\neq 0$ ，咁即係 $f(m_{1})>0$ 或者 $f(m_{1})<0$ 。

如果 $f(m_{1})>0$ ，設 $a_{2}=a,b_{2}=m_{1}$ ， $m_{2}={\frac {1}{2}}(a_{2}+b_{2})$ 就係 $I_{2}:=[a_{2},b_{2}]$ 間距嘅中間點。
如果 $f(m_{1})<0$ ，設 $a_{2}=m_{1},b_{2}=b_{1}$ ， $m_{2}={\frac {1}{2}}(a_{2}+b_{2})$ 就係 $I_{2}:=[a_{2},b_{2}]$ 間距嘅中間點。

無論如何，都會得出一個循環間距 $I_{2}\subset I_{1}$ 符合 $f(a_{2})<0$ 同埋 $f(b_{2})>0$ 。

將以上步驟做落去可以得到以下設定：

有間距 $I_{k}:=[a_{k},b_{k}]$ 符合 $f(a_{k})<0$ 同埋 $f(b_{k})>0$ ，設 $m_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k}+b_{k})$ ，將佢斬半。

如果 $f(m_{k})=0$ ，咁 $c=m_{k}$ ，可以收工。
如果 $f(m_{k})>0$ ，設 $a_{k+1}=a_{k},b_{k+1}=m_{k}$ ， $m_{k+1}={\frac {1}{2}}(a_{k+1}+b_{k+1})$ 就係 $I_{k+1}:=[a_{k+1},b_{k+1}]$ 間距嘅中間點。
如果 $f(m_{k})<0$ ，設 $a_{k+1}=m_{k},b_{k+1}=b_{k}$ ， $m_{k+1}={\frac {1}{2}}(a_{k+1}+b_{k+1})$ 就係 $I_{k+1}:=[a_{k+1},b_{k+1}]$ 間距嘅中間點。

如果上面嘅步驟係有限咁多步就做到 $f(m_{k})=0$ ，咁定理就成立。

需要考慮，呢個步驟係無限咁進行落去嘅話會點。

假設以上步驟係無窮咁進行，咁就會得出一串循環間距 $I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq \cdots \supseteq I_{n}\supseteq \cdots$ 。

$I_{n}:=[a_{n},b_{n}],\forall n\in \mathbb {N}$ ，同時間會有 $f(a_{n})<0$ 同埋 $f(b_{n})>0$ 。

因為每次間距都斬半，所以 $I_{n}$ 嘅長度係 $b_{n}-a_{n}={\frac {1}{2^{n-1}}}(b-a)$ 。

利用循環間距定理，得知對應所有嘅 $\forall n\in \mathbb {N}$ ，會有一點 $c\in I_{n}$ 係 $I_{n}$ 入面，即係話 $a_{n}\leq c\leq b_{n},\forall n\in \mathbb {N}$ 。

利用長度嚟計算 $\lim _{n}b_{n}-a_{n}=\lim _{n}{\frac {1}{2^{n-1}}}(b-a)=0$ ，所以 $\lim _{n}a_{n}=\lim _{n}b_{n}=c$ 。

因為 $f$ 喺 $c$ 呢點上面係連續，所以 $\lim _{n}f(a_{n})=\lim _{n}f(b_{n})=f(c)$ 。

利用極限排序性質， $f(a_{n})<0\implies \lim(f(a_{n}))<0$ 同埋 $f(b_{n})>0\implies \lim(f(b_{n}))>0$ 。

所以總結出 $f(c)=0$ 。

中間點定理

中間點定理（Intermediate Value Theorem）係上面根定位嘅推理。

假設 $I$ 係一個間距同埋 $f:I\to \mathbb {R}$ 係喺 $I$ 上面連續。

如果 $a,b\in I$ 同埋 $k\in \mathbb {R}$ 符合 $f(a)<k<f(b)$ ，咁就會有一點 $c\in I$ 喺 $a$ 同 $f(c)=0$ 之間，使到 $f(c)=k$ 。

證明：

只有兩個可能性，就係 $a<b$ 或者 $b>a$ 。

證明

a<b

設 $g(x):=f(x)-k$ 。

咁 $g(a)=f(a)-k$ ， $g(b)=f(b)-k$ 。

利用 $f(a)<k<f(b)$ 得知， $f(a)-k<0<f(b)-k$ 。

即係 $g(a)<0<g(b)$ ，再利用根定位定理得知，有點 $c\in (a,b)$ 符合 $g(c)=f(c)-k=0$ 。

$f(c)=k$

證明

b>a

設 $g(x):=-f(x)+k$ 。

咁 $g(a)=-f(a)+k$ ， $g(b)=-f(b)+k$ 。

利用 $f(a)<k<f(b)$ 得知， $k-f(a)>0>k-f(b)$ 。

即係 $g(b)<0<g(a)$ ，再利用根定位定理得知，有點 $c\in (b,a)$ 符合 $g(c)=-f(c)+k=0$ 。

$f(c)=k$

推斷：

設 $I:=[a,b]$ 係一個關閉又被綁定嘅間距， $f:I\to \mathbb {R}$ 係喺 $I$ 上面連續嘅。

如果 $k\in \mathbb {R}$ 係任何一個數符合 $\inf f(I)\leq k\leq \sup f(I)$ ，咁就會有一點 $c\in I$ 使到 $f(c)=k$ 。

應用

設 $I$ 係一個關閉又被綁定嘅間距， $f:I\to \mathbb {R}$ 係喺 $I$ 上面連續嘅。咁 $S:=\{f(x):x\in I\}$ 都係一個關閉又被綁定嘅間距。

證明：

設 $s_{\star }:=\inf S$ 同 $s^{\star }:=\sup S$ 。

利用最高點最低點定理，得知 $s_{\star },s^{\star }\in S$ 。

所以 $S\subseteq [s_{\star },s^{\star }]$ 。

設 $s\in [s_{\star },s^{\star }]$ 。

咁因為中間點嘅推斷得知，有會一點 $c\in I$ 符合 $f(c)=s$ 。

所以 $s\in S$ 。

因此 $[s_{\star },s^{\star }]\subseteq S$ 。

綜合兩者， $S$ 係一個間距，佢係 $[s_{\star },s^{\star }]$ 。

睇埋

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