保西奴中間點定理

保西奴中間點定理(Bolzano's Intermediate Value Theorem)係屬於數學分析入面,間上連續函數入面一個定理嘅推斷。佢係來自根定位定理,而根定位定理係一個相當重要嘅定理,佢會利用左斬半間距嘅做法。

根定位定理

假設  係喺 上面連續

如果 或者 ,咁就會有一點 符合 

證明:

假設 

設一個間距   就係呢個間距嘅中間點。

如果 ,咁 ,可以收工。

如果 ,咁即係 或者 

  • 如果 ,設  就係 間距嘅中間點。
  • 如果 ,設  就係 間距嘅中間點。

無論如何,都會得出一個循環間距 符合 同埋 

將以上步驟做落去可以得到以下設定:

有間距 符合 同埋 ,設 ,將佢斬半。

  • 如果 ,咁 ,可以收工。
  • 如果 ,設  就係 間距嘅中間點。
  • 如果 ,設  就係 間距嘅中間點。

如果上面嘅步驟係有限咁多步就做到 ,咁定理就成立。

需要考慮,呢個步驟係無限咁進行落去嘅話會點。

假設以上步驟係無窮咁進行,咁就會得出一串循環間距 

 ,同時間會有 同埋 

因為每次間距都斬半,所以 嘅長度係 

利用循環間距定理,得知對應所有嘅 ,會有一點  入面,即係話 

利用長度嚟計算 ,所以 

因為  呢點上面係連續,所以 

利用極限排序性質 同埋 

所以總結出 

中間點定理

中間點定理(Intermediate Value Theorem)係上面根定位嘅推理。

假設 係一個間距同埋 係喺 上面連續。

如果 同埋 符合 ,咁就會有一點   之間,使到 

證明:

只有兩個可能性,就係 或者 


推斷:

 係一個關閉又被綁定嘅間距, 係喺 上面連續嘅。

如果 係任何一個數符合 ,咁就會有一點 使到 

應用

 係一個關閉又被綁定嘅間距, 係喺 上面連續嘅。咁 都係一個關閉又被綁定嘅間距。

證明:

  

利用最高點最低點定理,得知 

所以 

 

咁因為中間點嘅推斷得知,有會一點 符合 

所以 

因此 

綜合兩者, 係一個間距,佢係 

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