函數最高點同最低點

函數最高點與最低點maxima and minima)分別係指函數入面數值最高同埋最低嘅一點。喺數學分析入面,主要討論嘅係間上連續函數嘅最高點同最低點。

最高點同最低點

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假設 ,同埋 

最高點

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如果  度有最高點(has an absolute maximum on  ),即係話 度有一點 ,對應所有嘅 符合 

噉就叫 做「  嘅最高點」(absolute maximum point for   on  )。

最低點

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如果  度有最低點(has an absolute minimum on  ),即係話 度有一點 ,對應所有嘅 符合 

噉就叫 做「  嘅最低點」(absolute minimum point for   on  )。

最高點最低點定理

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假設 係一個關閉又被綁定嘅間距  上面係連續嘅。咁 就會有喺 到一點最高點同最低點。

證明:

考慮非空集 係函數 嘅所有數值。

利用間上綁定定理,得知 

  。(想證明有兩點 符合  

證明 

因為 ,如果有一個 ,咁 就唔係一個上限界。

咁即係就會有一個 符合 

因為 係被綁定,咁數列 都係被綁定。

利用保西奴-華實斯定理,得知有子數列 趨向一點 

因為 係喺 入面,所以 都會係喺 入面。

因為 係喺 呢點度連續,所以 會趨向 

因為  子數列,所以 成立。

因為   ,利用夾縫定理得知 ,即係 

證明 

因為 ,如果有一個 ,咁 就唔係一個下限界。

咁即係就會有一個 符合 

因為 係被綁定,咁數列 都係被綁定。

利用保西奴-華實斯定理,得知有子數列 趨向一點 

因為 係喺 入面,所以 都會係喺 入面。

因為 係喺 呢點度連續,所以 會趨向 

因為  子數列,所以 成立。

因為   ,利用夾縫定理得知 ,即係 

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